Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

и з

особенностям на рис.2 . 2

показаны те же кривые 5c(i) , x ‘(i)& х ,

но для кривых х'(Ь)и х

( i ) не сделано изменение масштабов осей.

Будем в дальнейшем два процесса x ( t ) и х ( t ) , удовлетво­

ряющих соотношению (2.3), называть подобными. Такое определе­ ние характеризует и то положение, что по форме эти процессы полностью совпадают, так как каждая из кривых может быть по­ лучена из кривой другой функции только изменением масштабов по оси абсцисс и оси ординат.

Будем также говорить о соответственных точках подобных переходных процессов. Под соответственными будем понимать

каждые две точки функций х Ц ) ш 5c(t), удовлетворяющие соотно­

шению (2.4), которое

при рассмотрении соответственных точек

будем записывать

*

,

( 2. 10)

114

Здесь через

t

и t -

обозначены соответственные моменты вре­

мени для функций m

i

. При графическом представлении кри­

вых в виде,

как это сделано на рис.2 . 1 ,

т.е. при изменении

масштабов осей для x ( t )

по сравнению с

кривой х ( 6 ) , соот­

ветственные точки на графиках занимают одинаковые положения

(например,

точки Л и А на рис.2.1,а и 2.1,^. В случае, отве­

чающем рис.2 . 2 ,

т.е.

при одинаковых масштабах для кривых x ( t )

и х (i), соответственные

точки занимают на графиках различные

положения.

Но все же

эти положения являются аналогичными (на­

пример, точка А и А

на рис.2.2,а и 2 .2 ,в).

Если переходные процессы являются подобными, то между коэф­

фициентами передаточных функций, которым эти процессы соответ­ ствуют, будут иметь место определенные связи. Зти связи и бу­ дем называть условиями подобия переходных процессов.

Для составления этих условий нужно обратиться к изображе­

ниям Х ( р ) и Х ( р ) функций x ( t ) И X ш и к соотношению (2.5),

которое их связывает. Изображения Х( р ) и Х(р)щ}и принятых усло­ виях (рассматриваются переходные функции систем) соответствуют,

как уже подчеркивалось, передаточным функциям систем. Поэтому связи между коэффициентами изображений Х(р)иХ(р)будут являться и связями между передаточными функциями, соответствующимиx ( t )

и

Эти передаточные функции обозначим Ф(р) и Ф ( р ) :

 

, т . т-1

•е чГ и X

ЬоР + biP

+*• •+ b m - iP + bm

II

 

 

 

■

С 0 Р П+ ai Р П~,+ ’ -'• + ап-1р + ап

 

 

ъ0 Р т+ ь , р т' 1+- ’ • + Ьт. гр +Ът

ф (р)= х ( я ; = —

п

+ а 1 р

п-1

 

а „ р

 

+• ■ ’ + ° n - i P + Bn '

Тогда, используя (2.5), получаем

Ь0 р т+ bl P m 1+- • •+ b m- j P + Ьт

а 0 р п + а 1 р п~' + • •* + e n- iP +

(2 . И )

(2 . 1 2 )

 

ь Х р т +ь^ Г р ^ • • • ■ * • bm.,Kt p+bm

.

(2.13)

а 0 к £ р п+ а } к 2 - 1р пЛ " . + а п_ , к ър + а п

Из (2.13) имеем следующие два ряда соотношений:

а о= ° 0 K i

;

0 7 - a , x t

; . . • j a n-i~ a n - i Ht \ °n ~ a n ( 2 . 1 4 )

b o K t K x 'i

b i =

b i K t K x

» • • • i b m-i~ bm - i^ t Kx ’,< bm = bm Kx ’

 

 

 

( 2 . 1 5 )

115

Связй (2.14) и (2.15) составляют искомые условия подобия пере­ ходных процессов, которые будут ниже широко использоваться.

В дальнейшем условия (2.14) и (2.15) будут использоваться

не только применительно к передаточным функциям (2.II) и (2.12), но и применительно к уравнениям, которым эти функции соответ­

ствуют. Указанные уравнения записываются:

(о0 рп+ а,рп~+ ••■+ап_,р +ап)х=(Ъ0 рт+Ь}рт+- ■■+ bm_,p+bm) f (2.16)

(а0рп+а,рп ~ + • • • + an_,p + an)x= (b 0pm+bfp l ■• '+bm_tp+bm} f . { 2 . 17)

Следует заметить, что последнее условие (2.14) накладывает

требование равенства последних коэффициентов знаменателей пере­

даточных функций Ф(р)и Ф( р) или требование равенства последних

коэффициентов левых частей уравнений систем.Это положение нужно иметь в виду при практическом применении условий подобия

(2.14) и (2.15).

С другой стороны, рассматриваемое условие равенства послед­ них коэффициентов можно заменить равенством любых других соот­

ветствующих коэффициентов,

стоящих при одинаковых степенях р .

Потребуем такого равенства коэффициентов прип-t-x

степенях р ,

т.е.

потребуем равенства

t-x

коэффициентов.

При этом потре­

буем их совместного равенства

единице, так как ниже только та­

кие случаи и будут рассматриваться.

 

 

 

 

 

Для составления условий подобия для рассматриваемых случа­

ев все коэффициенты дроби,

стоящей слева от знака равенства в_

(2.13), разделим на

a-L, а дроби, стоящей справа,

-

на

Тогда условия подобия процессов будут следующими:

 

 

а о

а 0

i

a,

a,

 

 

 

1

4-r

 

 

 

— - к.

ai

<П Kt

>•' •7

4

ai

V>

 

 

a i

*

4 2 . 1 8 )

 

a i +l

H-t> ••*’

&П-1

Qn-1

-n+L+i a n

a„ -lu-L

Si

OL

°L

~

° i

Kt

7

ai

Hi

;J

Ьо

bo

m~n + L

 

h

-

b,

is m-n+- i-1

 

 

 

di~

a-L

*

K x »

s i

 

Kt

 

Kx \ -

 

 

bm-r

 

b m. 1

- n+i i■1

 

 

bm

- n + t

 

/ (2.19)

 

 

"

a L « t

K-x'l

°i

ai

 

 

 

 

В условиях (2.18) и (2.19),

т.е.

в условиях подобия пере­

ходных процессов, стали фигурировать отношения коэффициентов

функций (2 .II) и (2.12). Это фактически означает, что при ис­

пользовании условий (2.18) и (2.19) нужно рассматривать уравне­ ния

116

а о

п,

&i

л-7

 

 

Of-

f

n-i+j n-i

Q■L...+i

и

n - L - ’,

 

+

a а , \

a i

 

 

Qi

 

 

 

fli/

 

^

 

^a i

4

- . .

5 l)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

—

р

 

«

 

 

 

 

 

 

m

+ ИГР

m-;

+

 

;

^

Л

1 - 7

 

 

 

(2 .2 0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а о п ,

 

„П-1

 

СГ;

 

 

 

 

н

Ol +j П-i-f

+ - •

On

а [ Р

+ - р

р

+ • . . +

— р + р

 

“

7

ГрГ “

• )* =

 

 

 

—

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' + ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 О

„ Л 7 .

^7

„ Л 7 ~ 7 ,

 

 

 

6/TJ-7

„ _ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

cu r

 

a i г

'*- +%гр+ъ )г- « - г1>

 

 

 

 

 

Р

+ — Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что вместо (2.20) й (2.21) можно использовать

запись уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ —

 

/7

—

/7-7

 

 

—

 

лЛ-6+71

Лn-L

., ~—

Л/7- С-1,—-7/ .,

 

,

"Г \ __

( а 0 р + а , р

+ . . . + а ; _ , я

 

+ я

 

 

+ a i +, p

+-~ + а п ) х =

 

 

 

 

= (ЬоЯ

+

 

 

•••+

 

 

+ 6 J

f >

 

 

(2 . 2 2 )

(a oPn+ o lP n_,+ •••+

 

n - i + 7

л- t

 

 

П - L - l

 

 

 

 

 

 

я"

ь+ а £+г р " ‘ ь- '+ ». + ап) г =

 

 

 

 

= ( b , p " ’+ b , p m - \ - - 4 - b „ _ , p + bm ) f ,

 

 

( 2 . 2 3 )

и тогда вместо условий (2.18)

и (2.19) будем иметь

 

 

 

a 0

=

a 0

K ^ j

a

; =

a , / < t

; .

.

a i _

f

=

a £ _

;

k ^ . j a-L+1~ a

£ + ? к *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Л-М.-7-7

 

 

 

- n + L

 

 

(2.24)

 

 

 

 

 

Op~i ~

 

 

 

 

» ^n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

,

m -n + i

Kx'>

r

 

,

 

т - л + ь-7

.

 

 

 

 

 

b D = b OKt

 

b 1 =

b 1Kt

 

‘ОГ

 

 

 

 

 

 

b m~{~

b m - i Kt

 

 

Hx i‘

 

 

 

- n +i

 

 

 

 

 

 

 

 

b m ~ b m Kt

KX . (2. 2S)

Выше отмечалось, что подобные переходные процессы характе­ ризуются тем, что формы этих процессов совпадают. Однако важ­ ным является также и то обстоятельство, что для многих показа­

117

телей качества и свойств этих процессов справедливы простейшие аналитические зависимости (например, для максимальных отклоне­

ний, максимальных скоростей изменения координат и длительности

протекания процессов). Кроме того, простейшие соотношения спра­ ведливы для корней характеристических уравнений, соответствую­ щих подобным процессам.

для максимальных отклонений, максимальных скоростей измене­ ния координат и длительностей протекания подобных процессов

справедливы соответственно следующие зависимости:

Я max ~ ^ m a x ^ х

*

(2.26)

х m a x ~

х max ^ х

к

(2.27)

 

-

t f i x Ht •

 

(2.28)

 

 

Для доказательства (2.26)

обратим внимание на то,

что

вследствие совпадения процессов по форме максимальные отклоне­ ния для кривых х (t) и х(£)имеют место в соответственных точках,

для этих точек координаты кривых x ( t ) u

х(£)связаны зависимостью

(2.3) ,

из которой (2.26)

вытекает,

как частный случай.

Максимальные скорости изменения координат вследствие совпа­

дения процессов по форме также имеют место в соответственных

точках.

Поэтому для доказательства

(2.27) опять обратимся к

(2.3) ,

откуда получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d x { t )

i

(2.29)

 

 

d t

-

d i

‘

Kt

 

 

 

функция

x ( t )

получается из функции

х

( t ) простой заменой

аргумента t

на t .

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

d x ( t )

d x (t)

(2.30)

 

 

 

 

d t

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

'

Подставляя (2.30) в

(2.29), имеем

 

 

 

 

d x

d x ( t )

 

к х

 

(2.31)

 

 

~ d t =

d t

 

Tt

 

 

 

 

 

 

Из общей зависимости (2.31) соотношение (2.27) вытекает как частный случай.

При расчете времени протекания переходных процессов часто

определяют момент их окончания по оценке относительных отклоне­

118

ний координат в конце процессов. Причем в качестве базовых зна­

чений при расчете относительных отклонений рассматривают какиелибо характерные параметры кривых, например максимальные от­

клонения. Очевидно, что при таком приеме определения длитель­ ностей протекания процессов для кривых x ( t ) и х (^окончание процессов будет наступать в соответственных точках. Для этих

точек справедливо соотношение (2 .1 0 ),из которого (2.28) сле­

дует,

как частный случай.

 

 

Для корней характеристических уравнений,

соответствующих

подобным процессам, справедливы соотношения,

аналогичные (2 . 2 ?)

или (2.28). Для 1 - х

корней

 

 

 

 

 

 

 

(2.32)

Здесь через

p L обозначен

I -й корень,соответствующий про­

цессу

х Ш

, а через

p L-

L -й корень, соответствующий функ­

ции х

( i ) .

Такие же соотношения, как (2.32),

имеют место и

для других корней.

Справедливость рассматриваемых соотношений для корней ха­ рактеристических уравнений вытекает непосредственно из (2.4).

Пусть, например, система, процесс для которой описывает­

ся, имеет три корня,

два из которых являются комплексно-сопря­

женными. Корни обозначим

 

Тогда

р 1 и р 2, э = dLz ±

{2.33)

 

 

x ( t )

= с,ер’ % A e l2bs l n ( ( o 1 i + В).

(2 -3 4 )

Для кривой х ( t ) из (2.34) с учетом (2J0) записываем

Зависимость (2.35) можем записать

Здесь применены обозначения

 

Л и

р 2 , з =

(2.37)

 

соответствующие корням (2.33).

Смотрите также файлы