Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 124
Скачиваний: 0
123
х m a x - f ( в о ’ ai » ^ 2 i &з ? ^0* b/'f 6 2)< (2-55)
Аналогичные приемы можно использовать при составлении об щих зависимостей для других показателей свойств систем.
3. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ
НЕПОСРЕДСТВЕННО ПАРАМЕТРЫ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
В третьей главе работы кроме условий типа (2.14) и (2.15)
будут использоваться условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев автоматических
систем и начальные условия для координат этих звеньев. Содер жание данного параграфа посвящено, изложению этих условий, из ложению связей между параметрами звеньев автоматических систем и начальными условиями для координат этих звеньев, при которых
процессы в системах подобны.
Постановка задачи здесь следующая. Предположим, что имеет
ся конкретная автоматическая система определенной структуры с конкретными звеньями. Рассматривается вторая автоматическая система, которая имеет такую же структуру и такие же звенья,
но параметры звеньев могут иметь другие значения. Требуется указать связи между значениями параметров звеньев систем и начальными условиями для координат этих звеньев, при которых процессы в системах подобны.
Для простоты суждений и в соответствии с потребностями
ограничимся случаями, когда автоматические системы состоят из апериодических, колебательных и идеальных интегрирующих
звеньев. При отыскании искомых связей будем исходить из рас смотрения переходных процессов в противоположность тому, как при отыскании связей (2.14) и (2.15) исходными являлись пере даточные функции (2.II) и (2.12). Обратимся сначала к простей
шей автоматической системе, состоящей из трех звеньев (рис.2.3) Указанной структурной схеме соответствует система уравнений
124
(2.56)
(Тзрг+ z $3 тзР + ^ х
Уравнение колебательного звена заменим двумя уравнениями первого порядка. Тогда получаем
где
х, |
(т3У+2%/ 3р+1)х3=х2\^ Ц (rzp+l)x2=x,l5LJ рх=-кх3 |
15. |
|
Рис .2.3
На рис.2.4,а представлены переходные процессы для рассмат риваемой системы, построенные по методу Башкирова.
На рис.2.4,6 и 2.4,в показаны переходные процессы, полу
ченные из исходных процессов (рис.2 .4,а) введением коэффициен
тов масштабов осей. При переходе от рис.2.4,а к рис.2.4,6 вве ден коэффициент масштаба оси ординат,а при переходе к кривым на
рис.2 .4,в - также и коэффициент масштаба оси времени.
Из сравнения процессов на рис.2.4 и анализа уравнений (2.56) легко заметить, что кривые на рис.2.4,в могут быть по строены самостоятельно по системе уравнений, которая получает
ся из (2.57) и записывается
(2.58)
125
(2.58)
(T3p - h l ) x 3 = х зд~ н'3 X
где
(2.59)
Кроме того, для начальных условий должны соблюдаться связи
я 7(0 ) = л } ( 0 ) к х )
JCzi®) = ^c^io)к х )
(2.60)
V ° ^ V 0jк*;
Зс3 (0 ) = х 3 (0) кх .
Полученные выше связи (2.59) и (2.60) есть условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев конкретной автоматической системы (рис.2.3) и началь ные условия для координат этих звеньев. Однако изложенные выше
положения могут быть применены к любым автоматическим системам, состоящим из апериодических, колебательных а идеальных интегри
рующих звеньев, уравнения которых записываются в виде, используе
мом в (2.56). Поэтому в общем виде условия подобия переходных процессов, связывающие непосредственно параметры звеньев авто матических систем, можно записать
|
|
(2.61) |
В (2.61) через T-l , K l th Т{ и |
h - lобозначены i -е |
постоянные |
времени позиционных звеньев |
(апериодических или колебательных) |
|
и i -е коэффициенты передачи интегрирующих звеньев соответст-
ственно для исходных уравнений и уравнений, описывающих подоб
ные процессы.
Аналогично (2.61) могут быть записаны с учетом (2.60) в
общем виде связи между начальными условиями для координат
звеньев систем, соответствующих подобным процессам.
126
Рис.2.4
127
§4. ТРИ-ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ
Вдальнейших исследованиях будут широко использоваться три
формы записи уравнений. Первая форма записи является обычной
иимеет вид (I.I1). Эта форма записи широко использовалась в
первой главе. Здесь в дополнение к записи (I .I1) введем для коэффициентов вторые индексы. Эти индексы будут соответство вать порядку полинома левой части уравнения, т.е. кроме ( I .l') будем использовать уравнение
С ао,прП+ а1,п Р П' ’+ ■• ■+ a n-i,nP + ^ n , n ) x =
= ( b o , n P m + b Un P m' 1+ - - - + b m- h n p + bm)n)f .
(2.62)
Оба уравнения (I .I1) и (2.62) соответствуют первой форме
записи и могут полностью заменить друг друга. Применение вто рых индексов в коэффициентах уравнения (2.62) оказывается удоб ным при использовании результатов'по исследованию систем срав нительно низких порядков для исследования более сложных систем.
Это уже делалось в первой главе, например при составлении урав нений верхних границ. Однако там ввиду общего характера главы
использование вторых индексов не потребовалось. Вторые индексы будут использоваться в обозначениях коэффициентов и для других
форм записи, где они будут иметь такой же смысл.
Вторая форма записи уравнений систем отличается тем, что коэффициент при наибольшей степени р левой части уравнения
принимается равным единице. Уравнения систем во второй форме
записи будем обозначать:
(р + Aj, пР +■ • • + А л-2, л Р + An- i , nP + А п , п ) х ~
= (Я0, п р т+ В,,пРт' 1+‘ - + &т-1,пР |
• (2.63) |
Во второй форме записи уравнений конкретные значения могут быть заданы еще одному, двум или большему числу коэффициентов.
Теперь уже эти коэффициенты необязательно должны быть равны единице.
При использовании второй формы записи уравнений систем могут, кроме того, накладываться различные другие ограничения
на значения коэффициентов. В задаче выделения из процессов
128
первых составляющих (в задаче понижения порядка уравнений си стем) будут накладываться ограничения на изменения коэффициен та Ап л(первая составляющая имеет уравнение первого порядка) и
коэффициентов Ап_1п и А п „(первая составляющая имеет уравне ние второго порядка).
Для третьей формы записи уравнений систем принимаются кон кретные и равные единице значения для двух коэффициентов урав нений систем, рядом расположенных. Обычно будут приниматься условия
и |
' п - з , п - I |
(2 .6 4 ) |
|
|
|
( 2 .6 4 1) |
|
|
^Л-2 ,П= ** |
||
|
|
||
и уравнение для системы п |
порядка будет иметь вид |
|
|
о, л Р Л+ А,, п Р П~'+ |
• • • + Ая . V, п А Р 3 + А А я-,, п Р + Ап , п ) х - |
||
- (&о,п Р + |
^ 1, п Р |
+ " ' ^ & m-i,n Р + &m , n ) f ' |
(2 .6 5 ) |
Кроме того, равными единице могут приниматься и другие
рядом расположенные коэффициенты. Для того чтобы из записи коэффициентов сразу было видно, что они относятся к третьей форме записи уравнений и какие коэффициенты приняты равными единице, для рассматриваемой формы могут использоваться при
обозначении коэффициентов третьи индексы. Так, например, если в уравнении л порядка принимаются условия:
A n- s , n =1 и А |
(2 .6 6 ) |
то при использовании третьих индексов уравнение систем в третьей
форме записи сказывается следующим:
(Ао,л,л-;Р + А1гП п_5 р +• • •+ An. Si„in. 5 р + р + р + АП^3^П) n.s p +.
" ' + ^n,n,n-s)x ~(^o,n,n-sP +^t,n,n-sP + ' " + &m-i,n,n-s Р + •
(2 .6 7 )
Из этой записи видно, что в качестве третьего индекса для коэф фициентов используется номер второго коэффициента из двух коэф
фициентов, принимаемых равными единице.
Третьи индексы для коэффициентов при третьей форме записи
уравнений,как и вторые индексы во всех формах, будут использо ваться лишь в случаях, когда из с одержания материала не обна
129
руживаются те данные, которые дают эти индексы. Для.того чтобы по возможности меньше использовать вторые и третьи индексы, в тексте могут специально оговариваться данные, которые дают ука занные индексы.
При изложении последующего материала будет возникать необ ходимость называть номера коэффициентов. Нужно-иметь в виду, что под номерами коэффициентов понимаются здесь их первые ин
дексы.
§ 5. СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ УРАВНЕНИЙ В ТРЕТЬЕЙ ФОРМЕ ЗАПИСИ ДЛЯ СИСТЕМ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ
В двух последующих главах будут широко использоваться прие
мы исследования, аналогичные способу составления уравнений верх них границ рабочих областей, который в общем плане был рассмот
рен в первой главе. При использовании указанных приемов перехо ды к уравнениям высоких порядков будут осуществляться путем по степенного увеличения на Одну или две единицы порядков более
простых уравнений. При этом в этих переходах будет использо
ваться в основном третья форма записи уравнений. В связи с та ким положением вопрос о связях между коэффициентами уравнений в третьей форме записи для систем различных порядков и рассмат ривается в специальном параграфе. Кроме того, в последующем по требуются связи только между коэффициентами левых частей урав нений. Поэтому будут рассматриваться лишь характеристические уравнения систем.
Пусть имеется характеристическое уравнение " /7 —1 " поряд
ка в третьей форме записи
Это и есть первое уравнение, для.коэффициентов которого необ
ходимо найти указанные выше связи.
Запишем еще характеристическое уравнение п порядка
АО, Л , Т)-Ц-
+Ал-2 ,/ |
(2.69) |
130
Предположим, что это уравнение получено умножением на „ р ”
всех слагаемых и добавлением последнего слагаемого, т.е. пред положим, что выполняются условия
1о ,п ,п -ч |
^ип,п-ч |
’ ^п- 5 ,п ,п - 4 п П-5,П-1,п-ч’ |
^ п - 2 ,п,п-ч |
^ п - г , п - и п-ч и ^п - 1,п,п-ч |
^ п - 1,п-1,п-ч ‘ (2.70) |
Преобразуем уравнение (2.69) путем изменения масштаба оси времени таким образом, чтобы были равны единице коэффициенты не при и р 3 , а при слагаемых с третьей и второй степе
нями р .к-Это будет уравнение, для коэффициентов которого нуж
но найти рассматриваемые здесь связи [связи с коэффициентами уравнения (2.68)] . Указанное уравнение записывается
^ о , п , п - з Р + ^ 1, п , п - з Р |
+ ‘ " + ^ n - ч , п, n-з Р + Р + Р + |
||
+ А п - и п , п - з Р + Ап,п,п-з = 0- |
(2.71) |
||
Таким образом, необходимо найти связи между коэффициентами |
|||
уравнений (2.68) и (2.71). Для этого |
найдем связи между коэф |
||
фициентами уравнений (2.69) |
и (2.71), |
а затем воспользуемся |
|
соотношениями (2.70).
Для определения связей между коэффициентами уравнений
(2.69) и (2.71) воспользуемся соотношениями |
(2.24), полагая, |
||||||||||
что эти уравнения соответствуют уравнениям |
(2.23) |
и (2.22). |
|||||||||
Тогда, |
принимая |
I = |
л - 3 , |
записываем |
|
|
|
|
|||
Д |
- |
А |
|
Л - 3 |
А |
|
|
— Л |
|
Л - 2 |
|
^ 0 , П , |
л-3 - |
^ 0 , |
Л, П - Ч Kt |
'■> Aj ,n , П - 3 |
~ |
" и П г Г - Ч ^ |
Ь |
||||
^ П -5 , П, п -3 ~ А П -5 , л, п - ч |
|
» |
|
|
|
|
|
||||
А п-ч, п, л-з - |
|
^ |
^ п-г, п, п-ч к ’ ^ п - 1, п , п - з ~ ^ п - 1, п, п-ч- к г » |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
Д |
=Д |
- |
|
- L |
|
(2.72) |
|
|
|
|
|
” n , n , n - 3 |
|
п , П , П - Ч |
^ з |
• |
|||
Из третьего от |
конца соотношения (2.72) находим |
||||||||||
|
|
|
|
к - А |
|
, |
. |
|
|
(2.73) |
|
|
|
|
|
n t ~ л п - 2 , п\ п-ч |
|
|
|
|
|||
Подставляя (2.73) в остальные |
соотношения (2.72), |
получаем |
|||||||||