Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

224

§ 5. СИСТЕШ ШВСТОГО И ВЖЕЕ ВЬСОКЙХ ПОРЯДКОВ

Для систем шестого и более высоких порядков можно было бы использовать путь последовательных исследований с увеличением

каждый pas порядка исследуемых систем на единицу. Этот путь уже использовался ниже по отношению к системам третьего, чет­ вертого и пятого порядков. Однако в дальнейшем он оказывается громоздким. Кроме того, его использование принципиально не может привести к решению задачи для системы л -го порядка.

В связи с этим воспользуемся некоторым искусственным приемом, который приведет к решению задачи для системы п -го порядка.

Этот прием по своему содержанию может быть отнесен к задачам метода математической индукции.

Из материалов главы I следует, что при составлении уравне­ ний границ рабочих областей для систем высоких порядков исполь­

зовались такие же два предположения, какие применялись при со­ ставлении уравнений границ рабочих областей для системы пято­ го порядка. Справедливость этих двух предположений и необходи­ мо в первую очередь доказать. Для этого будем использовать, как

это делалось и для системы пятого порядка, кривые равных зна­ чений Хд , и г . Предварительно рассмотрим некоторые законо­

мерности, которые шжно сформулировать на основе уже изложен­ ного материала.

Из взаимного расположения рабочих областей для система пятого порядка (рис.4.6) видно, что рабочие области для усло­

вия (4.100) являются наиболее широкими, т.е. все рабочие обла­ сти приАо 5 f О лежат внутри рабочих областей для уравнения

(4.I0I). Таким образом, влияние коэффициента А0 ..может выра­ зиться только в сокращении рабочей области.

Это положение является частным случаем общей закономер­ ности, которая состоит в том, что рабочие области для систе­ мы л -го порядка, соответствующие третьей форме уравнения,

лежат внутри рабочих областей для системы четвертого порядка, характеристическое уравнение которой записывается;

225

Ап - ь , п , л - з р*+ р3+-р 2+АП - I , п , п - з р + Ап,п,п-з = 0 . (4.109)

Влияние коэффициентов от Ао п п_3Д0 Ап_5 п п_5может выразиться

только в сокращении рабочей области.

Таким образом, получается, что цри условии

А

рабочие области оказываются наиболее широкими.

Для доказательства этой закономерности рассмотрим внача­ ле рабочие области для систем пятого и более высоких порядков.

При этом сейчас мы исходим из того, что приемы составления границ рабочих областей, которые изложены в главе I, являются

справедливыми, хотя их обоснование мы изложим в данном пара­ графе ниже.

Для системы пятого порядка анализируемая закономерность

была уже доказана. Сейчас вернемся к ее рассмотрению для пол­ ноты исследования.

При доказательстве положения о том, что для условия (4.100) рабочие области являются наиболее широкими, использовалось

Используя пояснения, изложенные на стр.218 и учитывая (4.III), вспомним, что наиболее широкими для условия (4.100) рабочие области получаются потому, что для системы предыдущего поряд­

ка (четвертого) цри каждом А3 4|наибольшие граничные значения

При доказательстве рассматриваемой закономерности для си­ стемы шестого порядка необходимо использовать связи, аналогич­ ные (4.91), которые для шестого порядка из общих связей (2.75) получаются следующими:

Так как в качестве уравнений верхних границ используются

уравнения границ рабочих областей для предыдущей системы (си­ стема пятого порядка), то на этом основании мы и можем исполь­

зовать связи (4.ИЗ) для определения значений А$1.Of. J.для верх-

них границ. С этой целью необходимо воспользоваться третьим

соотношением (4.TI3), которое после замены A ^ SiZ через второе соотношение записывается

и других аналогичных рисунках выделить горизонтальные прямые, для которых значение А4 5 2совпадает со значением A2i6)3[вто­

рое соотношение (4. И З )]. Различным граничным значениям ASfSiZ на этих прямых будут соответствовать различные граничные зна­

так как в этом случае будут наибольшими значения Л5 s 2 на пра­ вой границе рабочей области для системы пятого порядка. Усло­

вием (4.II5) по существу вводится в рассмотрение вместо (4.II2) уравнение, соответствующее (4.100). Поэтому можем за­

писать, дополняя (4.II5), что наиболее широкими рабочие обла­ сти получаются при

Полученный результат будет иметь место не только для одно­

го, но и для всех значений A2j6)3. Поэтому можно сформулировать

общий вывод о том, что для систем шестого порядка рабочие об­ ласти получаются наиболее широкими для условий (4.II6), являю­

щихся частным случаем общих условий (4.ПО).

Исследования, которые выше описаны применительно к систе­

мам пятого и шестого порядков, могут быть продолжены и далее для систем более высоких порядков. Однако и без этих исследо­

227

ваний уже очевидно, что действительно для системы п -го по­ рядка рабочие области получаются наиболее широкими при (4.НО) или, иначе можно сказать, что рабочие области для системы

п -го порядка лежат внутри рабочих областей для системы чет­ вертого порядка с характеристическим уравнением (4.109).

Здесь, конечно, имеется в виду, что в соответствии с пер­

вым предположением о приемах составления уравнений границ ра­ бочих областей в качестве уравнения правой границы для каждой

из систем используется уравнение, полученное из уравнения для предыдущей системы увеличением индексов всех коэффициентов на единицу. Для того чтобы записать уравнение для системы п -го порядка, не требуется обязательно осуществлять такие последо­

вательные переходы, а можно в уравнении цравой границы для си­ стемы четвертого порядка сделать замены коэффициентов по сле­

При аналогичных заменах получается последнее уравнение (1.77).

При формулировании вывода о рабочих областях при условиях (4.НО) также имелось в виду, что в соответствии со вторым

предположением о приемах составления уравнений границ для каж­ дой из систем используются уравнения границ рабочих областей

для предыдущей системы. Это позволяет использовать связи меж­ ду коэффициентами уравнений, которые применительно к уравне­ ниям л-1-го иц-го порядков соответствуют (2.75).

Из рассмотренной закономерности о границах рабочих обла­ стей при условиях (4.НО) вытекает вторая закономерность, ко­ торая заключается в том, что рабочие области при условии (4.НО) для всех систем совпадают независимо от порядка п .

Под совладением здесь подразумевается то положение, что рабо­

чие области, построенные в соответственных координатах, сов­

падают. Для системы четвертого порядка этими координатами бу­

В дальнейшем будем говорить и о соответственных точках

рассматриваемых рабочих областей, под которыми будем понимать точки с одинаковыми значениями соответственных координат.

Перейдем к построению кривых равных значений ;и Т^2и