Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf

229

Формулы (4.II8) * (4.II9) показывают, что значения дейст­ вительных времен запаздывания t и <С^гдля соответственных

нений систем объясняется увеличением именно этих коэффициентов.

Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить кривые А и а для систем четвертого и пятого порядков (см., например,

рис.4.5 и рис.4.8).

Из рисунков видно, что в соответственных точках значения

коэффициентов А и А для системы пятого порядка или выше зна­ чений этих коэффициентов для системы четвертого порядка, или

равны последним. Поэтому значения Z d и "cd 2для соответствен­ ных точек при увеличении порядка уравнений систем в целом воз­ растают, хотя во многих случаях, как уже указывалось, и не

изменяются.

С другой стороны, из проведенного анализа видно, что зна­

чения параметров ; и “с^ при увеличении порядка уравнений систем не будут возрастать, если не будут увеличиваться цри возрастании порядка систем коэффициенты А п и А л .Это достигается, если воспользоваться следующим приемом.

Сократим за счет правых границ рабочие области для системы пятого порядка таким образом, чтобы наибольшие значения а5и А5

совпадали с наибольшими значениями аналогичных параметров для системы четвертого порядка ( А^ и А^). Сокращенные и исходные рабочие области показаны на рис.4.9.

Уравнение для правых границ сокращенных рабочих областей применительно к уравнению (2.62) можно записать

а 5 , 5 ~ f ( ^ 0 , 5 '» a i,S j ° 2 , S » a 3 ,5 ?

Для исследуемых систем уравнения правых границ будем состав­ лять путем увеличения на единицу индексов коэффициентов в урав­

нениях правых границ для предыдущих систем,используя в качестве

исходного написанное выше уравнение для a 5i5 .

230

231

В этом случав, как видно из соотношений (4.14) и (4.20), значения коэффициентов Лл и А п для соответственных точек

будут совпадать независимо от порядка уравнения и будут рав­

ны значениям этих коэффициентов для системы пятого порядка. Будут также совпадать и кривые Л „и А п, построенные соответ­ ственно для постоянных значений А„ , „ „ . и У

Можно было бы этим ограничить данное исследование и ис­

пользовать в дальнейшем сокращенные рабочие области. Однако целесообразно не сокращать все же рабочие области. В этом слу­ чае для отыскания предельных значений коэффициентов Лп и Х п был .применен искусственный прием,несколько видоизмененный по

сравнению с изложенным.

Расширим рабочие области для систем третьего и четвертого порядков, сохраняя неизменными рабочие области для системы пя­

щих систем, не превышали соответствующих значений для систем третьего и четвертого порядков.

Из формул (4.14) и (4.20) следует, что в этом случае зна­ чения коэффициентов Л„ и А п для соответственных точек будут

совпадать независимо от порядков уравнений и будут равны зна­

чениям этих коэффициентов для системы пятого порядка. Будут целиком совпадать также кривые А п и А „, построенные для по­

стоянных значений А„ , „ „ ,(кривые А п) и постоянных значений j- (кривые А ).

Таким образом существо изложенного выше искусственного приема отыскания условий, при которых для соответственных то­ чек коэффициенты А л и А п не будут возрастать, состояло в искусственном расширении рабочих областей для систем третьего и четвертого порядков. На самом деле такое расширение рабочих областей предусматриваться не будет, но зато указанный прием позволил получить предельные кривые для Ал и л „ , которые да­ ют предельные значения этих коэффициентов. Будем эти кривые, пример которых представлен на рис.4.10, обозначатьЛлпяе3и Ап<пред

При наличии указанных предельных кривых обоснование двух

цредположений о приемах составления уравнений границ рабочих областей (см.гл.БУ стр.224 , гл.1, стр.97 ) оказывается

достаточно простым, так как при обосновании первого предполо­

жения необходимо сравнить кривые для постоянных значений Тд,и

, в системе четвертого порядка с такими же кривыми, соот-

Oj z

232

234

Анализ значений действительного времени запаздывания для верхних границ в предельном случае показывает, что диапазон этих значений оказывается о:граниченным и практически не пре­ вышает диапазона этих значений для систем третьего, четверто­ го и пятого порядков. В связи с этим предположение о том, что

в качестве верхних границ для системы любого порядка можно ис­

пользовать уравнения рабочих границ для предыдущей системы,

соответственных точек границ рабочих областей разность в дей­

Из графика ошибок видно, что отличия в процессах, которые име­ ют место из-за наличия (4.I2I), не будут превышать (10-12)$. Этими ошибками можно пренебрегать, так как наибольшие разности Д'Гд имеют место в точках, где величины не являются наи­ большими, и поэтому уравнение правой границы для системып -го

порядка можно определять, как для системы четвертого порядка с уравнением (4.109), т.е. предположение о приеме составления уравнений правых границ также является оправданным.

Во всем исследовании данного параграфа предполагалось, что

в качестве разделительной кривой используется (1.53). Эта же разделительная кривая применялась для систем третьего, четвер­

того и пятого порядков. Для последних систем возможность ис­

рабочих подобластей при использовании (1.53) не выходят из диа­ пазона значений времени запаздывания для систем третьего, чет­ вертого и пятого порядков. Для этого достаточно установить наи­ большее значение для предельного случая - для предельного

расположения кривых постоянных значений Z j jiiZg г, так как все другие случаи по значениям действительного времени запаздыва­

ния х д являются промежуточными между системой пятого порядка и предельным случаем. Точнее говоря, предельный случай являет­

ся наиболее "тяжелым” в том смысле, что он соответствует наи­ большим значениям Z$ . Это происходит потому, что значения действительного времени запаздывания для соответственных точек

235

в целом непрерывно возрастают с ростом порядка уравнений си­ стем.

Из рисунков, аналогичных рис.4.II, было получено, что зна­

чения для предельного случая лежат в интервале

(0+ 0,17) сек, (4.122)

который действительно не превышает значений времени запаздыва­ ния для систем третьего, четвертого и пятого порядков.

Для решения задачи приближенного разложения процессов на отдельные составляющие осталось только показать, что каждый раз

при увеличении порядка уравнений систем выделение первой со­

ставляющей осуществляется с допустимыми ошибками. Это положе­ ние оказывается справедливым потому, что значения действитель­ ного времени запаздывания ‘l q каждый раз не выходят из диапа­ зона (4.122), и поэтому ошибки оказываются допустимыми.

Здесь нужно иметь в виду, что в данном выводе предполага-

етбя использование приемов уменьшения ошибок разложения про­ цессов на простейшие составляющие, которые описаны в § 12 дан­ ной главы.

§ 6. СОГЛАСОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ПРОЦЕССОВ НА ОТДЕЛЬНЫЕ

СОСТАВДЯНЩЕ ДЛЯ СИСТЕМ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В предыдущих параграфах задача разложения процессов на от­ дельные составляющие решалась путем постепенного увеличения порядка уравнений систем или, будем говорить, решалась прямая задача. При анализе и синтезе систем, как указывалось в гла­ ве I (§ 2, стр. 32 ) и, как следует из краткого описания ал­ горитма, выделение составляющих процессов может осуществляться путем постепенного уменьшения порядка уравнений для быстропротекающих составляющих, т.е. после выделения первой составляю­

щей может быть осуществлено выделение второй и последующих

составляющих или, как будем говорить, может решаться обратная

задача разложения процессов на отдельные составляющие. Как пря­

мая, так и обратная задача должны соответствовать согласова­ нию разложений процессов на отдельные составляющие для систем

различных порядков. Для пояснения содержания указанного согла­ сования рассмотрим два случая применительно к обратной задаче

разложения процессов на отдельные составляющие в соответствии

236

с тем, что алгоритм анализа и синтеза записаны для этой за­ дачи.

П е р в ы й с л у ч а й . Предположим, что для систе­

мы л -1-го порядка осуществлено для определенного сочетания значений коэффициентов уравнения системы разложение процессов

на отдельные составляющие. При этом пусть оказывается, что первая для указанного уравнения составляющая процессов имеет первый порядок.

Рассмотрим систему п -то порядка, для которой все коэффи­ циенты уравнения, кроме последнего, совпадают с коэффициента­

ми уравнения для системы л -1-го порядка. Для системы л-го порядка осуществлено выделение первой составляющей. Причем за­

дача выделения первой составляющей осуществлялась на основе ре­ зультатов разложения процессов на составляющие для системы л-1-го порядка, т.е. задача решалась так же, как это делалось для систем различных порядков в предыдущих параграфах главы.

В данном случае возможны два варианта. В первом варианте первая составляющая' для системы п -го порядка имеет первый

порядок. После выделения первой составляющей получается урав­ нение п -1-го порядка, которое должно дальше раскладываться в соответствии со своими составляющими,, т.е. в данном варианте никаких затруднений не возникает. Для наглядности запишем си­ стему уравнений для первой и остальных составляющих процессов.

Система имеет вид

Во втором варианте первая составляющая для системы л -го порядка имеет второй порядок. В этом варианте после выделения первой составляющей получается уравнение л-2-го порядка, кото­ рое должно дальше раскладываться в соответствии со своими со­ ставляющими, которые известны, так как первая составляющая для

уравнения л-1-го порядка, не входящая в уравнение л-2-го поряд­

ка, вошла в уравнение первой составляющей здесь. Таким образом, в данном варианте и, следовательно, для случая в целом никаких

затруднений в согласовании порядков составляющих не возникает. Система уравнений для первой и остальных составляющих процессов

здесь оказывается следующей: