323
§ 5. УКОРОЧЕННАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА - ГУРВИЦА ДЛЯ СИСТЕМ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
При рассмотрении взаимного расположения рабочих областей
и границ устойчивости, т.е. при рассмотрении запасов устойчи вости по коэффициентам уравнений, для систем высоких порядков
было использовано предположение, что закономерности, установ ленные для взаимного расположения рабочих областей и границ укороченных областей устойчивости для системы пятого порядка, будут справедливы и для систем высоких порядков.
Укороченные области устойчивости соответствуют укорочен ной форме критерия устойчивости Рауса - Гурвица. Для систем
высоких порядков эта форма критерия предположительно записыва ется по аналогии с укороченной формой данного критерия для си стемы пятого порядка.
В случае пятого порядка уравнение системы (1.66), записан
ное в третьей форме, заменяется двумя уравнениями четвертого порядка (5.27) и (5.28). При первой форме записи уравнения си
стемы (1.65) вместо (5.27) и (5.28) |
получаем |
|
|
a o,sP‘**a h5pi+ аг , з р г + аз,5Р + |
= 0 , |
(5-38) |
°/,5 р + аг ,5 Р + а3,5 Р + |
Р + °5,5 = ^ • |
(5.39) |
По этим уравнениям записываются два уравнения, определяющие границы предполагаемых укороченных областей устойчивости. Для
(5.27) и (5.28) эти уравнения имеют вид (5.31) и (5.32)., При менительно к (5.38) и (5.39) имеем
|
а 1,5 а г ,5 а 3,5 |
а 0>5 |
a l s |
(5.40) |
'^,5 = Ч, |
|
|
|
'1,5 |
|
|
|
?г,5 °3,Д |
°hs ОЦ-,5 |
(5.41) |
JS, 5 |
4s |
|
|
|
|
|
2,5
По уравнениям (5.40) и (5.41) записываются соотношения, определяющие указанные укороченные области устойчивости
u t ,s « |
|
(5.42) |
|
|
° 1,5 |
°5,5 ~~ 4 |
a 2,S °3,5 а,*,5 |
a 1,5a i*,S |
$ |
|
324
Для систем высоких порядков выделение уравнений типа (5.38)
(5.39), которое показано выше для системы пятого порядка, про должается и дальше. Для каждого последующего уравнения индексы
коэффициентов увеличиваются на единицу. В итоге для системы п порядка получаются следующие уравнения:
4) |
а0,пЯ*+ а ,,п Р 3+ a 2 ,n P Z+ а з ,„ Р + а *, п = 0 > |
|
5) |
а , , п р ¥+ о г ,пР + а 'з,пР + о ¥гПр |
+ а 5гП= 0; |
|
6) |
а ^ п р ^ а ЭгПр 3+ а ^ п р г+ a s , n p |
+ o 6t„ = 0 |
у (5 .4 3 ) |
п - О ° n - s , n P + c ‘n - ^ , n p 3+ а п - з , п Р + а п - г , п Р +с* п - и п Ь
n) а п - Ь , п Р + a n -3,nP + a n~2 ,n P + a n -i,n P + a n , n ~
По этим уравнениям аналогично (5.40) и (5.41) записываются
уравнения, определяющие границы укороченных областей устойчиво сти. Эти уравнения следующие:
|
Oи,n„n aи*2 ,_n ^ 3 , n ~ иa „o,n„ |
са'зг,п |
|
4> а ‘н п = Ч ^ |
м ип |
|
|
|
|
|
|
5> |
^ г . п аз,п а ч-,п~ a hn а ц-,п |
, |
а 5 , П = Я 5 |
2 |
” 1Г""" " |
* |
6> |
Л з , л |
ц »,/7 и 5 , л ~ и 2 , п |
и 5,п |
|
= Яб |
а 3, п |
|
|
|
|
|
|
П |
— П а п -Ь , П 0 / 7 - 3 , П Q n - i, n ~ Q n -S ,n O ' Л - 2 , /7 . |
’ |
" '' U n~1,n~ Яп-1 |
_ 2 |
|
|
и П-Ч-, п |
|
П^ п , п |
ап-Э, П ^n-2,nan-t,n аn-h, Пв n-h П |
|
= Яп |
а п -э ,п |
|
где |
|
|
|
|
|
|
Ч ^ Я з = Я б = - " |
= ‘1п-1 = Яп = 0> 7 - |
<5 *45) |
Соотношения, определяющие предполагаемые укороченные обла сти устойчивости и, следовательно, составляющие укороченную
форму критерия устойчивости Рауса - Гурвица, записываются
а п -з , n Qп-г,п ~ °n -s,n Qn-г, n .
a n ~ Q n - i
Каждое из соотношений (5.45) есть условие устойчивости по
критерию Гурвица для соответствующего уравнения червертого порядка, в которое введен коэффициент q-L .
Для того чтобы показать справедливость предположения о том, что закономерности взаимного расположения рабочих областей и границ укороченных областей устойчивости, установленные для системы пятого порядка, характерны и для систем других поряд
ков, необходимо провести два исследования.
Нужно, во-первых, доказать, что условия (5.46) действитель
но составляют укороченную форму критерия устойчивости Рауса - Гурвица. Зто будет сделано ниже. Кроме того, нужно показать, что относительно границ, определяемых соотношениями (5.44),
рабочие области имеют такое же расположение, как и для системы пятого порядка, т.е. нужно показать, что закономерности для за
пасов устойчивости по коэффициентам уравнений, установленные для системы пятого порядка, справедливы и для системы п по рядка.
Предварительно рассмотрим понятие о соответственных точках,
точнее о соответственных точках границ рабочих областей.
Пусть рассматриваются запасы устойчивости до двум коэффи
|
циентам уравнения п порядка |
(2.62) с номерами aL n и |
а ^ , п > |
|
причем примем |
|
|
(5.47) |
|
т.е. рассматриваются запасы устойчивости |
|
|
|
т * ( а i . n ) |
и |
rnK ( a h „ ) . |
(5.48) |
|
Нужно сделать суждение о том, |
что здесь идет речь о запа |
сах для соответственных точек, или о том, что рассматриваемое соответствие для указанных запасов отсутствует.
326
Для того чтобы осуществить данные суждения, |
исходное урав |
нение |
(2.62) преобразуется с изменением масштабов оси времени |
так, |
чтобы коэффициентами, равными единице, в этих случаях |
были |
|
|
А- |
- |
А - |
|
|
|
|
(5.49) |
и |
|
|
* 1 - 3 , 7 7 ’ |
1-2, п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A j - 3 , /? ’ |
A i - z , n ‘ |
|
|
|
(5.50) |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
получаются уравнения |
|
|
|
|
^ о , п , 1 - з Р + А п п , 1 - з Р |
+ ' ' ' + |
А L-4-,n,i~3 Р |
|
+ Р |
+ Р |
|
+ |
A i - i , n , i - 3 p |
ч’ А 1, п ,1 - з Р |
+ ‘" |
+ ^/7,/?,i-3~^’(5.5I) |
|
п . |
П-1 |
|
|
n - i + Ч- |
77-Д 7-3 |
|
n - j + z |
A o , n , j - 3 P + A i , n , j - 3 P + - - - + A j - b , n, j - 3 p |
|
+ Р |
|
+ Р |
+ |
|
Л - 1 + 1 . |
n - j |
+■ |
+ А п ,n,j~3 - |
|
(5.52) |
+ Aj - i , n , j - 3 P |
+ A j , n , j - 3 p |
|
|
Запасы (5.48) будут являться запасами для соответственных
точек, если выполняются равенства для коэффициентов
А ■ |
■ |
|
— А ■ |
|
|
*1-<7,77, 1-3 |
<|-^7Л,()-3 7 |
|
А 1 - 1 , П , 1 - 3 |
~ |
A } - i , n |
, j - 3 ’ |
(5.53) |
A i , n, L- з ~ |
n , j - 3 • |
|
Графически (рис.5.5) равенства (5.53) означают, |
что в пло |
скостях Коэффициентов А-_,; |
|
i - 3 ’ A i , n , |
i - з и A j - i , n , j - 3 > A i , n , j s |
при выполнении первого условия (5.53) |
точки, для которых рас |
сматриваются запасы устойчивости, занимают одинаковые поло |
жения. |
|
|
|
|
|
Аналогично может быть рассмотрено соответствие |
точек не |
только для двух, но и для большего числа запасов устойчивости. Так, например, все запасы устойчивости уравнения (2.62) будут
являться запасами для соответственных точек, если после изме
нения масштабов оси времени и составления уравнений
|
..... |
5) |
A0,n,2A \ , , 2/ ' V nV ' - \ n^ n^ ^ 77,2/----^ 77, *,= 0; |
6) |
A o , n l 3 p n + A , , n , 3 p n +А2,п,зРП' г+ р П~3+ р П~ +А5, П'зРЛ~*‘--+Ап,п,з=0> |
