332
С;з> |
0 > C/s 0 »•••» С ^+; > 0 . |
(5.65) |
|
Т а б л и ц а |
5.1 |
|
II
|
|* ? «
|
|
II
|
|
г 2 = |
SГlL . |
. . .
|
|
а г |
|
* 6 |
о , |
|
* з |
а 5 |
а 7 |
С13~ а 2 ~ Го а з |
с г з |
= V r0 a s |
С33 = а б - Го а 7 |
— |
|
с , ^ а з ~ г, с 23 |
с г 4 |
~ а 5 ~ т) сз з |
сз 4 = а 7 |
— |
|
|
С15= С23 ~ Г2 С2 |
Сг $ - С3 3 ~ Г2 с34 |
■— |
— |
|
|
• • У |
|
. . . |
• * * |
. . . |
Для сокращения объема исследований будем вместо (2.62) рассматривать уравнение системы во второй форме записи при условии
Оказывается, что можно в данном исследования принимать постоян
ным еще один коэффициент, |
в качестве которого будем брать коэф |
фициент Аг п . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы показать указанную возможность, |
введем в |
рассмотрение относительные коэффициенты |
|
|
|
|
|
А, |
|
- |
А з,п |
|
|
|
|
|
|
|
” з,п |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н г,п |
|
|
|
|
|
Аи,п |
|
|
|
А |
|
А*'П |
1 |
|
А V,n ~ Аг |
,п |
1 |
|
|
|
(5.67) |
|
П 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ав,п |
|
|
|
Л |
= |
^7,л |
• |
|
А6,п~ А3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
7>п |
|
А3 |
’ |
|
• |
М2ГГ? |
|
|
|
|
|
Лг,л |
• ^ |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
333
Тогда соотношения (5.44) могут быть записаны
^ Аь,п з,п А з,п ) •
^ А 5,п ~ 4 s ( А 3,ПА*,п ~ К п ) ’
А |
А А |
- |
А \ |
|
Н 3 , П * Ь , П * 5 , П |
П Зг П |
|
е ^ 6 , п = Чб |
7 2 |
|
’ |
|
|
А г |
|
|
(5.68) |
|
А 3,п |
> |
|
|
|
|
А ь,п A S,n К , п ~ |
А з,п aL |
|
Ъ * 7 , п = Ч 7 |
|
|
|
|
^5, п А в,П А 7 , / 7 |
A AZ |
|
П Ь,П м 7, П |
|
8 ) А з , л = Яв'
К . »
Таблица 5.1 критерия Рауса с учетом (5.66) и соотношений для коэффициентов (5.67) приобретает вид
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
5.2 |
1 |
A 2 , n |
A |
= A Z |
A |
A |
= j4 3 |
4 |
|
n b,n |
п г , n |
|
n 6,n |
|
H 2 , n n 6 ,n |
1 |
|
|
|
|
|
A |
|
3 |
- |
A3 , n ~ A 2 , n A 3 , n |
A S ,t i ~ A 2 |
, n A s , n |
|
= A |
A |
|
n 7 , n |
n z , n n 7,n |
^13 ~ A 2,n ^oA3,n С2 Ь ~ К , п Г0 А 5,П |
C3 |
3 = A 6 |
, n ro \ n |
|
|
— |
|
|
|
|
|
c ik. ~ А з , п Ч с г г |
C2 k = А 5 ,П ~ Г1С33 |
n = |
A |
— |
^34- |
л |
7 , /7 |
c i5 ~ с г з ~ гг сг ь |
C?S=C3 3 ~ r2 C 3 V |
— |
|
— |
|
|
|
• 4 t |
. . . |
• » t |
• . # • |
♦ « # |
Из таблицы видно, что для проведения по таблице расчетов необходимо предварительно определить значения А3 п- Дп>(1. При
заданном сочетании значений (<^-г ?л)эт0 можяо было бы сделать,
если известно значение А, „ . Значения этого коэффициента, ко-
Оtм
торый должен быть положительным, следовало выбирать из диа пазона
334
Таким образом, при проведении расчетов составлялись различные сочетания значений коэффициентов -г q n) и коэффициента А3>„. Для каждого такого сочетания значения остальных коэффициентов А*, „-г А„ „ определяются однозначно по зависимостям (5.68).
|
|
|
|
Из таблицы 5.2 теперь замечаем, |
что для данного сочетания |
значений к оэф ф и ц и ен тов q.n) и |
А3гП |
результаты расчетов |
будут зависеть от коэффициента А , |
„ '. |
|
Предположим, что выполнены все необходимые расчеты для кон |
кретного значения Аг |
Тогда из таблицы легко заметить, что |
для другого значения А2 |
условия (5.65) |
не нарушаются, если |
они выполнялись для одного значения А, |
Элементы второго |
столба только изменятся по абсолютной величине пропорциональ
но различным степеням Д2 . |
■ |
Таким образом заключаем, |
что действительно в данном иссле |
довании можно считать постоянными не два коэффициента, а три. Использовались условия (5.66), а для коэффициента А2 „выбира лось значение из условия обеспечения проведения исследования без масштабирования.
Вернемся теперь к идее доказательства укороченной формы критерия устойчивости Рауса - Гурвица. Эта идея заключалась в практической проверке условий устойчивости Рауса для систем <• различных порядков с помощью ЦВМ.
Вели окажется, что для любых сочетаний значений коэффици ентов (<j -г q n) и A3in системы будут удовлетворять условиям устой чивости или будут нейтральными, то укороченная форма критерия устойчивости Рауса - Гурвица будет доказана. При этом досто верность этого вывода будет тем выше, чем для большего сочета ния значений коэффициентов системы будет проведено исследова ние .
Указанные расчеты были выполнены применительно к системам до пятнадцатого порядка’включительно. Расчеты подтвердили спра ведливость укороченной форш критерия устойчивости. Проводить расчеты для систем более высоких порядков не было, видимо,прак
тической необходимости, так как и проведенные исследования под
тверждают распространение на системы высоких порядков законо мерностей изменения запасов устойчивости, установленные для си стемы пятого порядка.
335
Проведенные в данной главе исследования и полученные резуль таты не будут непосредственно использованы при составлении ал горитмов анализа и синтеза систем. Однако этим не снижается значение материалов изложенной главы, так как эти материалы дают ответ на вопрос о возможных запасах устойчивости по коэф фициентам уравнений, а также позволяют расширить исходную пред
посылку метода. Материалы по расширению исходной предпосылки метода оказалось удобным изложить здесь же, в следующем пара
графе.
§ 7. РАСШИРЕННАЯ ИСХОДНАЯ ПРЕДПОСЫЛКА МЕТОДА
йлпе в качестве рабочих областей использовались области
значений параметров (коэффициентов уравнений систем), соот ветствующие первоначальной исходной предпосылке метода, опи санной в главе I (§ I). В данной главе проведено исследование по оценке запасов устойчивости по коэффициентам уравнений си
стем, если эти системы удовлетворяют указанной первоначальной исходной предпосылке метода. Было показано, что эти запасы устойчивости удобно оценивать по отношению к укороченным обла стям устойчивости и минимальный запас устойчивости, который здесь получается, совпадает с (5.26). Одновременно было пока зано, что для нижних участков правых границ рабочих областей запасы устойчивости по коэффициентам уравнений оказываются зна чительными и даже при движении точек по линиям границ рабочих областей к началу координат рассматриваемые запасы стремятся к бесконечности (см.нацример, рис.5.6). Изложенные особенности могут иметь место и для верхних границ.
Из всего исследования данной главы и из анализа взаимного расположения границ рабочих областей и границ укороченных об ластей устойчивости следует, что целесообразно рассматривать также рабочие области, для границ которых запасы устойчивости по коэффициентам уравнений будут везде одинаковыми. Такие ра бочие области были названы расширенными, расширенной была назва
на и исходная предпосылка метода, соответствующая расширенным рабочим областям. Запас устойчивости по коэффициентам уравнений
для границ расширенных рабочих областей по отношению к границам
укороченных областей устойчивости был принят равным
