Файл: Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
|
344 |
(4а) |
А ^ = 6 а1 -, |
(46) |
Ац. — 0,5 А ^ ; |
(4в) |
(5.77) |
А „ = 7,05 ; |
|
(4 г ) |
А* = 8Г0 ' |
|
В качестве уравнений верхних границ использовались уравне
ния (5.75) для системы третьего порядка.
Таким образом, для системы четвертого порядка при перехо де от уравнения (1.58) к (1.57) на основе (5.77) с учетом урав
нений' верхних границ (5.75) |
получаются следующие упрощенные |
|
уравнения границ рабочих областей: |
|
|
(2) а г а 0 = ба2 ; |
(4а) |
а ¥ ог = 6 а \ ; |
(За) а 3 а, = 6 а\-, |
(46) |
а^а, = 0 , 5 а г а3 ’, ^ (5.78) |
(36) о 3 а 0 = 0 , 5 а , а г -, |
(4в) а 20 „ = 1 ,0 5 а \ ■, |
|
(Зв) а 2о3= 7,0 5 а,3 •, |
(4 г ) 8 а 0 а 1~ а \ . |
|
В отношении уравнений (Зв) и (4в) системы (5.78) справедли вы замечания, которые были изложены выше в отношении уравнения
(Зв) системы (5.75).
Рабочие области соответствуют соотношениям: |
|
|||||
(2) а г а0== |
6 а , |
; |
(4а) |
а и а ? s |
6 аэ ’ |
|
(за) a 3a , s |
6 а \ |
; |
(46) |
а ^а, s |
D,5az a3 ; I |
(5#79) |
(зб) а 3 о0* |
0,5а, а г •, |
(4в) |
а 2 а ^ |
1,05 а \ \ |
|
|
(Зв) с 2 а 3 == |
7,05 |
а,3 ; |
(4 г ) |
8 а 0 а ^ |
а \ . |
|
Для систем пятого и более высоких порядков упрощенные урав нения границ рабочих областей записывались путем использования
уравнений границ рабочих областей для системы, порядок которой на единицу меньше (это будут верхние границы), и использования уравнений типа (4а) * (4г) [сы.(5.78)] (это будут уравнения правой границы). Причем уравнения цравой границы записывались
путем увеличения на единицу индексов всех коэффициентов в урав
нениях правой границы предыдущей по порядку системы. Это дела
лось каждый раз при увеличении на единицу порядка уравнения си
стемы.
Данные приемы составления упрощенных уравнений границ рабо
чих областей полностью соответствуют приемам образования урав
345
нений границ рабочих областей, которые использовались выше. Запишем упрощенные уравнения границ рабочих областей и не
равенства для самих рабочих областей сразу для системы п по рядка. Имеем
(2) а г а 0 « 6 g ,V |
(5а) |
а 5 а 3 ^ |
6 а \ \ |
|
(За) сг3а, is |
6 а \ •, |
(56) |
a5 az s |
0,5 а3 а |
(36) а 3 о 0 |
0,5 а, а 2 \ |
(5в) |
<7,5. s |
1,05 а 3 |
(Зв) а*а3=£ h 0 5 а ? ; |
(5 г ) 5 о , о 5 е а 3г ; |
|||
|
|
|
|
(5.80) |
(4a)a¥ozs |
бо3 ■, |
|
|
|
(46) с^а,г~ 0,5 a z a3 ', |
л5^апап -^°'5^ гам ; |
|||
(4в) |
1,05 а* 5 |
п5} а гпзап * 1’М а п3 - г ’ |
||
|
|
|||
(4г) 8 а 0 а ^ а \ •, |
пг) 8 а п^ а п * а гп, г . |
|||
В (5.80) рабочим областям соответствуют двойные знаки
(равенств и неравенств), а границам рабочих областей - только знаки равенств.
346
Г л а в а |
У1 |
АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В данной главе рассматриваются алгоритмы, конкретные соче
тания которых позволяют решать различные задачи анализа и син теза сложных автоматических систем.
Вначале рассматриваются алгоритмы определения коэффициен тов левых и правых частей уравнений систем. При их составлении
использовали метод Леверье с видоизменением Д.К.Фаддеева [78j, дополненный предлагаемым в работе приемом двойного использова ния процедур Д.К.Фаддеева. Затем описываются алгоритмы опреде
ления показателей качества систем. Для составления этих алго ритмов исходной базой являются все изложенные выше главы. После этого рассматривается применение нескольких вариантов алгорит
мов оптимизации [23,40] к рассматриваемым в работе задачам ана
лиза и синтеза систем в целом. Заканчивается глава изложением некоторых алгоритмов определения переходных процессов с после
довательным исключением быстропротекающих составляющих.
§ I.АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ
Данные алгоритмы носят вспомогательный характер и необхо димость в их применении возникает в случае, когда не удается
получить аналитические зависимости коэффициентов уравнений си стем от параметров элементов из-за практических трудностей свер
тывания исходных уравнений звеньев в общие уравнения систем. Вместе с тем нужно заметить, что указанные трудности возника ют даже при исследовании сравнительно несложных систем.
347
Ал г о р и т м ы вычисления коэффициентов левых частей
уравнений
В литераторе известен ряд методов ояределения коэффициен тов характеристических уравнений (коэффициентов левых частей
уравнений систем). Не останавливаясь на анализе различных ме тодов [78], рассмотрим метод Леверье с видоизменением Д.К.Фад-
деева, который ниже и используется. Преимущества этого метода состоят в том, что он оказывается совершенно не чувствительным к различным особенностям исходных матриц систем (исходных урав нений систем) и алгоритм оказывается общим. В других методах
не получается общего алгоритма определения коэффициентов ха
рактеристических уравнений. Приходится предусматривать алго ритмы и переходы для разных частных случаев, что усложняет процедуры. Так, например, такая необходимость может возникнуть при нулевых значениях для некоторых результатов промежуточных вычислений и в других случаях.
В то же время нужно сказать, что в литературе [l5] реко мендуется методы определения коэффициентов характеристических уравнений систем применять с большой осторожностью, так как можно получить принципиально ошибочные результаты. Это положе ние полностью относится и к методу Леверье, в том числе и с видоизменением Д.К.Фаддеева. В данном методе, как показала практика, ошибки возникают при определении последних коэффи циентов. Для устранения этого недостатка в работе предлагает ся двойное применение процедур Д.К.Фаддеева. При первом приме нении определяются почти все коэффициенты, кроме нескольких последних. При втором применении процедур Д.К.Фаддеева опреде ляются и последние коэффициенты.
Для определения коэффициентов характеристических уравнений исходные уравнения звеньев систем в методе Леверье, как и в
других методах, должны быть |
приведены к каноническому виду, |
т.е. должны быть записаны в |
форме, разрешенной относительно |
первых производных. Эти уравнения в общем случае имеют вид:
d x . |
= а и х , + |
а п х г + ■ + <*tn Х п + b 1 f1 1 |
||
Ж |
||||
й х г |
а 2 j |
^ |
а г г х г +" ' ■ + ° г п х „ + b z f, |
|
d t |
||||
~ |
|
|
||
djCn |
|
- а п ; х ; + ап г х 2+- |
• ' + а п п х п + Ьп |
d t |
|
|
348 |
|
|
В уравнениях (6.1) для удобства записи стоят только слагае |
|||
мые, соответствующие возмущению |
f , |
хотя возмущений может |
|
быть и любое другое количество. |
|
|
|
По уравнениям (6.1) составляется матрица коэффициентов |
|||
|
<*гГР |
а п - •■ Vfn |
|
И = \\Р- |
а гг~Р ’ ■ • Огп |
||
РЕ\\ = |
|
|
|
|
а т |
а пг |
• •а пп~Р |
Здесь через |
Е обозначена единичная матрица. Айтрице (6.2) со |
||
ответствует характеристический полином |
|||
«=И', -р£||= |
|
<6-3> |
|
Для определения коэффициентов этого уравнения по матрице (6.2) записывается матрица Р, имеющая вид:
|
о п |
• |
* |
а ,п |
|
|
|||
р = а г1 |
о,гг • |
• . а гп |
||
Ощ |
О т • |
• |
• |
о пп |
Нужно иметь в виду, |
что элементы матрицы в общем случае |
|||
являются функциями параметров автоматических систем. При из
менении этих параметров изменяются некоторые или даже все (практически этого обычно не получается) элементы матрицы (6.4), что приводит к изменению коэффициентов характеристического урав нения.
После вычисления элементов матрицы (6,4) коэффициенты по
линома (6.3) определяются по схеме, |
построенной следующим об |
|||
разом: |
|
|
|
|
|
SpP; = c j f ? ; |
C ^ P r % 1 E) |
|
|
Pz = PCj; |
SpPz |
|
|
|
2 |
~Чг-> |
с г ~ Рг ~ Ч г Е '> |
(6.5) |
|
|
Рп-1 |
|
||
|
|
|
||
Pn-i= Рсп-г> |
п~1 |
-Чгп-и |
Сn_j=Pn_f - q п. |
|
349
В схеме (6.5) через 5р Р- обозначается след матрицы Р- , рав
ный сумме ее диагональных элементов. Для матрицы |
Р1 , равной |
матрице Р ,эта суша равна |
|
Sp Pj = а п + а гг + а эз + • ■• + а пп . |
(6.6) |
В случае определения коэффициентов уравнений систем рас
сматриваемым матричным методом будет использоваться часто вто рая форма (2.63) записи этих уравнений. С другой стороны,ваесто (6.3), опуская (~/)п, можем записать
Q ( p ) |
= р п- 4 i P n~ L l l z P n~Z- |
Ч п - |
(6-7> |
|
Сравнивая (2.63) |
и (6.7), инеем для коэффициентов характеристи |
|||
ческого полинома |
|
|
|
|
А0 = 7; |
& г = - q z ) |
} |
Ап ~ ~ Ч п • |
(6.8) |
Для удобства изложения будем в дальнейшем матрицу (6.2) |
||||
называть исходной канонической матрицей, |
а матрицу |
(6.4) рабо |
||
чей. Термин "каноническая" будет применяться в связи с тем,что при определении коэффициентов правых частей будут применяться
как исходная, так и исходная каноническая матрицы.
При практическом црименении процедур (6.5) оказывается не обходимым учитывать, что диапазоны чисел, в которых лежат коэф
фициенты характеристических уравнений конкретных автоматиче ских систем высоких порядков, обычно бывают достаточно широки ми. Для того чтобы расширить объем систем, для которых можно вычислять коэффициенты уравнений без заметного усложнения алго ритма, осуществлялся сдвиг всех коэффициентов (6.8) в сторону больших и малых чисел пути их умножения на одинаковое число М = 10 , в котором показатель £ назначался заранее.
В рассмотренных выше процедурах указанное здесь умножение коэффициентов (6.8) на число М отразилось на записи матрицы Р [см.(6.5)] , для которой использовалось соотношение Pt = MV
и на записи коэффициента А0 , который принимался равным A=ao=R. Выше отмечалось, что практика применения метода Леверье по
казала возможность появления принципиальных ошибок в определе
нии последних коэффициентов уравнений. Это относится к систе мам высоких порядков, начиная примерно с шестого-восьмого.
Появление данных ошибок объясняется тем, что в процедуре (6.5) матрица Р является матрицей скалярной, т.е . для нее