Файл: Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ.pdf

470

ГЛ.

X. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

П у с т ь

JX Фа (0 dt)

Ф а (*) =

запиш ем

а

оо

П х )

=

Ф ,

(X) +

2

(Ф * + І (х) -

Ф *

(*)).

А = 1

Т а к

к а к

фь+ i —

фй ^

0,

то

Ф й+ і

—

Ф й

есть

возрастающая

ф ункция от X.

З на ч и т,

по теореме

4

(Ф у б и н и ),

F

диф ф еренцируем а

почти

всю д у ,

и

D F (X)

==

£>Ф, (х) +

5

( 0 Ф *+1 (* )

-

0 Ф *

(д))

=

ОО

== Фі М

+

2

(Фа+ і W

—

Фа (*))

==

Н т

ф „(*) =

f

(х).

k — \

П* В‘

П - > оо

П. В.

Е сли теперь / есть предел

уб ы в аю щ е й последовательности

ф „

ф ун кц и й ,

которы е

сам и

я вл я ю тся

пределам и

во зра стаю щ и х

по ­

следовательностей

ступ е н ч а ты х

ф ун кц и й ,

то

д остаточно

зам е­

н ить в этом

р ассуж д е н и и

щ

на

И т а к , п ол учи л и

теорем у.

Т е о р е м а . Е с л и

f

—

инт егрируем ая

ф у н к ц и я

н а

[а,

Ь],

то

ф у н к ц и я , о п р е д е л е н н а я

как

X

F { x ) = \ f ( t ) d t ,

а

имеет

почти в с ю д у

в

качестве

п р о и з в о д н о й

ф у н к ц и ю

f.

С —

Т о ж е

самое будет верно д ля

лю б о й ф ункц ии

F

-f

С , где

л ю б а я постоя нн ая ф ун кц и я , и в частности , для

X

I

f {t )

dt,

а

гд е а е [ а ,

Ь\.

З а м е ч а н и е .

П о с к о л ь к у D F {х) == f ( x ) , то

Ilm

+

_

f w

) „

lim ^

I

f ( , ) d t _

j

W

j

==

0.

Е сл и

записать

.

x+h

h

J

f ( t ) d t =

+

X

0

8. МЕРЫ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

471

то ясно,

ч то если

/

то

h

lim у

Г ( / ( * +

0 — f ( x ) ) d t ~ 0.

ft-»О п

і

п- а-

Н о

совсем

не

очевидно ,

ч то

в

этом

равенстве м о ж н о

за ­

м енить

f ( x

+

t) —

f { x )

на

\ f { x

+

t) —

f { x ) \ .

М ы

д о к а ж е м ,

что

е с л и

/ s

i ? ,

то

л

l i m - j \ \ f { x + t) — f { x ) \ d t == ° .

ft-»0 n

i

n.B.

(Э то

свойство

в а ж н о при л о кал ьн ом иссл е д ован и и р яд ов

Ф урье .)

П у с ть

g (jc) = 1

f ( x )

—

а 1, где

а —

неко то р ое

число . П о

п ре ­

д ы д ущ ей

теореме,

h

lim

h

g { x +

t ) d t

=

g (x)',

h^O, h->0

,

о

зн ачи т,

h

lim

+

0

—

I f { x ) — a\.

ftgbO, ft-»0 fl

о

П у с ть

E a —

м н о ж е ство

меры

н ул ь ,

д л я

ко то р о го это

равен ­

ство

не

в ы п о л н я е тся ,

и

п усть

а —

р а ц и о н а л ь н о .

Т о гд а

а

то ж е

им еет

м еру

н ул ь .

П у с ть

е > 0 ,

х ф.

Е

и ß — такое

р а ц и о ­

нальное

число , что

| f ( x ) - ß | < e / 2.

И меем

ft

A

f

t

о

о

< $ \ f ( x + t ) - $ \ d t + e \ h \ / 2 .

о

О тсю д а

д л я д о статочн о

м а л ы х

I h

|

получаем

h

§

5.

Абсолютно непрерывные функции и каноническое

разложение монотонной функции

Э то т п ар агр аф

с л у ж и т и л л ю стр а ц и е й раздела

6 (теорем а

Л е ­

бега —

Н и к о д и м а ).

М ер а

V ^

0

назы вается а б солю тно непреры вной

о тн оси те л ь ­

но д р у го й меры

р ^

О,

если

в с я к о е м нож ество

p -нулевой

меры

является

м нож еством

ѵ-нулевой

меры.

М ы

попы таем ся

вы яснить ,

ка к д о л ж н о

бы ть

сф орм улировано

это определение,

ко гд а рассм атривается мера

на числовой

п р я ­

мой и мера Л еб ега .

П у с ть

имеется интервал [о,

Ь].

О б означим

через

X

м еру

Л е ­

бега, а через р —

н е ко то р ую

м еру

^

0.

М ера

р определяется

посредством

возрастаю щ ей ф ун кц и и .

Е сли

р

а б солю тно

непре ­

ры вна

относи тельно X (в смы сле определения

из § 1 раздела 6),

то во зра стаю щ а я

ф ун кц и я ,

определяю щ ая

р,

не

м о ж е т

бы ть

п роизвольной . Н а п р и м е р , м нож ество ,

сводящ ееся

к одной

точке,

имеет ^ -н у л е в у ю

меру. Е сли

его мера будет p -нулевой , то

воз­

р а ста ю щ а я ф ун кц и я д о л ж н а

бы ть непреры вна.

П у с ть

р —

мера

на

[а, Ь],

аб со л ю тно

непреры вная

о тн о си ­

тельно

X.

П о

теореме

Л еб ега —

Н и ко д и м а ,

сущ е ствуе т

та ка я

и н ­

тегр и р уем ая

на [а, Ь]

относи тельно

меры X

ф ункция

f,

что если ф

есть

р -и н те гр и р уе м а я

ф ун кц и я ,

то

ъ

Р (ф) =

/

ф V) /

(/) dt.

а

Е сл и

f

и н те гр и руе м а ,

то

д ля

л ю б о го

за д ан но го

е >

0 найдется

та ка я и н те гр и руе м а я

ф ун кц и я f Q, что | / 0| ^

М

и

ь

J I f — fo Idl < e/2.

a

П у с ть

( /ft) —

счетное

семейство

п оп ар но непересекаю щ ихся

и н ­

тервалов

(п л и им ею щ их

не

более

одной

общ ей

то ч ки )

с

к о н ­

цам и о а,

Рд, и п усть фа —

их ха ра кте р и сти че ски е ф ункции .

Имеем

ь

Ра

Ра

е (/а) =

И(Фа) =

J

Фа( t ) f ( t ) d t = J

(/(/) — /0 (0) dt +

J f Q(t)dt .

a

a k

<ik

Д алее, имеем

Ра

Ра

5 > ( / а) = 2

J

( / ( 0 - M * ) ) Ä + \ ] J Ш Ш .

к

k

к dfe