Файл: Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие.pdf

Подставляя в (1) выражения для скорости фильтрации v и пло­ щади фильтрации F

Здесь

р* Ср) = р(р) |^ат

Рассматривая процесс фильтрации газа по пласту в момент вре­ мени t как установившийся, проинтегрируем уравнение (4) в преде­ лах по г от Rr до RKи по ф от фг (t) до фк (t). Получаем

фк(*)—фг(0

In Дк

Д г

Здесь фг и фк — соответственно значения функции ф при давле­

Здесь ф — значение функции ф, соответствующее среднему пласто­

вому давлению р.

Сумма величин притоков газа из внешней Q' и внутренней Q" (по отношению к рассматриваемой галерее) зон пласта равняется величине отбора газа из батареи скважин:

Вместе с тем величины притоков газа к батарее слева и справа от нее пропорциональны объемам порового пространства в областях

111

может быть принято равным давлению на галерее рг в соответству­ ющий момент времени.

Тогда уравнение притока газа к средней скважине согласно ме­ тоду последовательной смены стационарных состояний записывается

Здесь а и b — коэффициенты фильтрационных сопротивлений для области пласта от гк до Rc, которые оцениваются по известным формулам (см., например, [39]). Так как основные потери давления при притоке к скважине приходятся на призабойную зону пласта, то за а и Ь приближенно могут быть приняты осредненные значения коэффициентов А и В, найденные в результате исследования скважин.

По уравнению технологического режима эксплуатации скважин

—изменение во времени потребного числа скважин.

Напомним, что уравнение (10) применяется при условии, если

выполняются соответствующие ограничения (см. § 4 данной главы). В противном случае вместо уравнения (10) используется выражение

Рг (0 —Р* (0 = а (Ц*«)сР q (0 + bzcpq2 (t).

В качестве примера приведем результаты расчетов показателей разработки газовой залежи А тремя батареями скважин при исход­ ных параметрах, принятых в примере предыдущего параграфа.

мости ср = ф (t) (хорошие коллекторские свойства пласта), потребное

число скважин в первой и второй батареях определялось исходя

из зависимости р — р (t). Дебиты скважин определялись с исполь­ зованием уравнения (10) и при условии, что а = А и b = В.

§ 6. Решение на ЭВМ задач неустановившейся фильтрации газов

В предыдущих параграфах рассмотрены приближенные методы определения показателей разработки газовых месторождений. Развитие этих методов было связано с нелинейностью исходных дифференциальных уравнений неустано­ вившейся фильтрации газа, что не позволяло получить эффективные решения в замкнутом виде даже для простейших задач. Решение данных уравнений методами конечных разностей стало возможным лишь благодаря созданию и все более широкому применению быстродействующих электронных вычислительных машин.

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных называются в литературе сеточными или конечно-разностными

методами1. В предыдущих параграфах мы уже пользовались методами числен­ ного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при опре­ делении, например, показателей разработки газовой залежи в период падающей добычи газа.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных про­ изводных основаны на выражении (замене) производных первого, второго и т. д. порядков в какой-либо точке пространства и в какой-либо момент времени через значения функции в соседних точках.

Известно, что любую функцию у = / (х), непрерывную и имеющую все

разбит на п равных частей (рис. 35). Тогда расстояние (шаг) между двумя точками равен h = (N — M)jn.

Выберем произвольные точки i — 1, i и i + 1 на линии MN. При помощи ряда Тейлора (1) запишем значения функции в точках i — 1 и £ + 1 через значе­ ния функции и ее производных в £-й точке. Для точки £ — 1 величина (х — а) =

1 В настоящее время имеется обширная литература по численным методам решения дифференциальных уравнений, например [7, 10, 64 и др.].

Здесь R x (А) н R 2 (А) — суммы соответствующих остаточных членов рядов

(2) и (3), поделенных на А.

Таким образом, формула (4) без R x (А) дает значение производной для конца интервала [г — 1, г], а формула (5) без R 2 (А) — Для конца интервала [г, i + 1] с погрешностью порядка А, так как R x (А) и R 2 (А) — члены первого порядка малости относительно А. Отбрасывание этих членов в формулах (4) и (5) при значительной величине А может привести к значительным погрешностям при замене и вычислении производной в точке г.

Таким образом, при аппроксимации (замене) производной в точке i через значения функции в соседних точках остаточный член имеет погрешность по­ рядка А2, т. е. пренебрежение остаточным членом в формуле (6) дает меньшую погрешность, чем в случае формулы (4) или (5).

Сложив уравнения (2) и (3), получаем аппроксимирующее выражение для второй производной в точке i:

в конечно-разностной форме одномерное дифференциальное уравнение параболи­ ческого типа (в безразмерном виде)

описывающее неустановившуюся фильтрацию сжимаемой жидкости. В резуль­

116