Файл: Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие.pdf

Уравнение (9) может быть записано двояким образом в зависимости от того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что решение уравнения (8) на временном слое / Дг уже известно, а решение отыскивается

вательно уравнение (10) к каждой г-й точке (с учетом граничных условий), можнополучить искомое решение на временном слое (/ + 1) Д г и т. д. Отсюда стано­ вится понятным, почему уравнение (10) называется явным: оно позволяет явным

ния функции, то задача сводится к решению системы из га — 1 уравнений с га — 1 неизвестными.

Таким образом, использование численных методов сводит интегрирование дифференциального уравнения (8) при соответствующих краевых условиях к чисто алгебраической задаче.

Возможность или эффективность использования сеточных методов приводит к рассмотрению вопросов сходимости и устойчивости их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана: 1) с погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения

исоответствующих краевых условий конечно-разностными уравнениями; 2) с по­ грешностью вычислений на каждом временном слое.

Если сеточный метод дает такое решение, которое при изменении шагов Ах

иД г (при Ах — 0 и Д г — 0) стремится к точному решению задачи, то такой метод является сходящимся.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчи­ танных шагов по времени / погрешность вычислений стремится к нулю (или остается ограниченной), то метод является устойчивым. Оказывается, что устой­ чивость метода неразрывно связана с величиной шагов Ах и Дг.

Известно (см., например, [7]), что явное уравнение является устойчивым в том случае, если соотношение между шагами по пространственной и временной осям удовлетворяет неравенству

допустимы любые шаги по осям Дг и Дг, так как сходимость метода неразрывно связана с величинами шагов Дг и At.

Использование явного сеточного метода возможно в том случае, если шаги по пространственной и временной координатам удовлетворяют неравенству (12).

117

Оказывается, что это ограничение на шаг по временной осн является очень жестким. Для устойчивости метода шаг At приходится брать очень малым, что увеличивает общее число шагов по времени, а следовательно, и общий объем вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на большую простоту явного сеточного метода, использование его на практике весьма ограниченно.

При использовании неявного сеточного метода, как уже отмечалось, нет прямых ограничений на величины шагов по пространственной и временной координатам, так как этот метод является устойчивым. Однако для получения заданной степени точности решения задачи выбору шагов по времени и про­ странству приходится уделять определенное внимание. Естественно, что умень­ шение шагов Да; и Д t сказывается положительно на точности получаемого реше­ ния, но вместе с тем это влечет за собой увеличение объема вычислений и на­

оборот.

На практике выбор шага по пространственной координате часто осуще­ ствляется экспериментальным путем. Для этого проводятся вычисления на ЭВМ с некоторым шагом Ах. Затем вычисления повто­ ряются с шагом Ах/2. Если оказывается, что ре­ шение, полученное при шаге Ах, отличается от решения, полученного при шаге Ах/2, на заданную величину погрешности 8, то шаг Ах считается незавышенным для достижения требуемой точности.

В противном случае задача просчитывается с ша­

зованы значительно более крупные шаги по пространственной (преобразованной) координате (это будет показано далее).

При выборе шага по временной координате целесообразно руководствоваться следующими соображениями.

Из изложенного видно, что чем сильнее изменяется искомая функция по пространственной или временной координате, тем меньший шаг требуется для получения заданной точности. Известно, что решение дифференциального уравнения параболического типа для некоторой точки пространственной коорди­ наты имеет вид, изображенный на рис. 36. Искомая функция наибольшим обра­ зом изменяется в первые моменты времени. После некоторого времени t1 изме­ нение функции во времени происходит почти по прямой линии. Это означает, что в интервале наибольших изменений функции [0, гх] требуется меньший шаг At, чем после достижения времени tr. Проведение расчетов с одним и тем же шагом по времени неэкономично. Таким образом, расчеты по времени должны

проводиться с растущими временными шагами.

Алгоритм увеличения шага по времени довольно прост. С начальным, по возможности малым, шагом Дг просчитываются два шага но времени. Затем с шагом 2Д« просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения

на момент времени 2At при разных временных шагах сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность 8, то дальнейший счет ведется с шагом Дг. В противном случае расчет продолжается

118

с шагом 2At. С шагом 2Af просчитываются два шага. Затем с шагом 4Дt делается повторный просчет по времени. Аналогично изложенному результаты сопоста­ вляются, п получается ответ о целесообразности или нецелесообразности даль­ нейшего увеличения шага по времени и т. д.

Для задач, описываемых уравнениями параболического типа, часто удается записывать балансовые соотношения, например уравнение материального баланса применительно к газовой залежи. Наличие такого уравнения при проведении численных расчетов позволяет судить о правильности составления программы и дает представление о величине интегральной ошибки, получаемой

врезультате расчетов на ЭВМ.

Сначала 50-х годов для решения задач неустановившейся фильтрации газов

все более широкое применение находят численные методы и ЭВМ. Первые иссле­ дования в этом направлении посвящены решению одномерных задач неуста­ новившейся фильтрации газов [39, 47, 85 и др.]. Полученные практически точные решения позволили установить точность приближенных методов и обосновать справедливость применения упрощенных методов определения показателей разработки месторождений природных газов [39].

Пусть, например, требуется определить, как будет изменяться во времени давление на забое совершенной газовой скважины радиусом Яс при пуске ее в эксплуатацию с постоянным дебитом q. Газоносный пласт круговой формы радиусом Лк имеет постоянную мощность и однороден по пористости и про­

г — Лк,

др

дг

Для получения универсального решения, справедливого для любых пара­ метров пласта, диаметров скважины, размеров залежи и вязкости газа, диффе­ ренциальное уравнение, начальное и граничные условия представим в безраз­ мерной форме.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Тогда задача (13)—(14) в безразмерной форме принимает вид:

0 = 0, р* = 1,

» - о , А £ -= о .

ди

119

Используя формулы (5) и (7) (без остаточных членов), задачу (16)—(17) представим в конечно-разностной форме (для простоты звездочки опустим):

На рис. 37, я представлена область интегрирования уравнения (13), а на рис. 37, б — область интегрирования уравнения (16).

Отсюда следует, что

Формула (19) для аппроксимации первой производной несколько отличается от выведенной ранее формулы. Формула (6) позволяет аппроксимировать первую производную в некоторой точке со вторым порядком точности при использовании значений функции в точках слева и справа от нее. У узловой же точки м0 (см. рис. 37, б) нет соседних точек слева. В ряде литературных источников пока­ зывается, что если использовать значения функции в точках i = 0 , 1, 2 для выражения первой производной в точке i = 0, то достигается второй порядок точности аппроксимации.

Уравнение (16), так же как и уравнение (13), нелинейное, потому что перед временной производной стоит коэффициент, в который входит искомая функ­ ция р*. Соответствующая система конечно-разностных уравнений (18) оказы­ вается также нелинейной. Решение системы нелинейных алгебраических уравне­

ний по сравнению с системой линейных уравнений представляет большие труд­ ности.

Если записать систему уравнений (18) в виде:

г = 1, 2, 3.......... n — 1,

то она представит собой систему линейных алгебраических уравнений.

120