Файл: Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие.pdf

Здесь использован общий прием, который часто применяется при численном решении нелинейных дифференциальных уравнений, т. е. нелинейный член в (20) вычисляется по найденному решению на /-м временном слое. При расчетах второго приближения на / + 1-м временном слое вместо значений pi, / исполь­ зуются найденные в первом приближении значения pi,i+i (перед производной по времени) и т. д. Об этом подробнее будет сказано ниже.

Уравнения (20) и (19) дают нам, таким образом, следующую систему линей­ ных алгебраических уравнений.

При:

в каждом уравнении (за исключением последнего) содержится по три неизвестных функции. Неизвестные функции имеют наименьший индекс по г, в первом урав­ нении равный 0, во втором — 1, в третьем — 2 и т. д. Такая система уравнений называется системой с трехдпагональной матрицей. Для таких систем разработан простой и эффективный метод решения, называемый иногда прогонкой.

Рассмотрим решение системы уравнений (21) методом прогонки. Решая совместно первое и второе уравнения системы (21), получаем

Рекуррентное соотношение (26) справедливо для £ = 1, 2, 3, . . . , (га — 1).

121

индекса i и затем в вычислении в обратном порядке величин р|, у+ 1 (в порядке

по формулам (29) и (26) определяются величины квадратов давления (а затем и давления в первой степени) в каждой узловой точке i в момент времени (/ + 1) т-

Втакой последовательности проводятся расчеты на каждом временном слое до заданного момента времени 0 .

Втабл. 9 приведены результаты расчетов для безразмерного дебита §* = 0,1

при соотношении радиусов - £ = 5000 [39]. По результатам этой таблицы ti с

построены профили квадратов давления по пласту (в функции и) в разные мо­ менты времени © (рис. 38). Из рисунка следует, что решение задачи в координа­ тах p2-i-u имеет почти прямолинейный характер. Поэтому оказалось возможным при решении выбрать достаточно большой шаг Дии ограничиться проведением расчетов лишь для 17 узловых точек по пространственной координате.

122

На рис. 39 дается зависимость изменения во времени квадрата забойного давления, построенная по данным табл. 9. Рассмотрение рис. 39 показывает, что примерно с момента времени 0 = 0,2 забойное давление изменяется практически по прямой линии. Это означает, как уже отмечалось, что при численном решении дифференциальных уравнений параболического типа можно значительно увели­ чивать шаг по времени без снижения точности результатов расчетов.

Для интегральной проверки точности решения используется уравнение материального баланса. Для рассматриваемого примера оно записывается в виде:

qtpa-T

Из уравнения (32) следует, что величина q* 0 представляет собой долю ото­ бранных запасов rasa на момент времени 0 .

или соответственно в безразмерных переменных

о

щ

123

125

ветственно.

В заключение можно отметить сходство порядка и характера решения изло­ женной задачи с задачей о неустановившемся притоке газа к галерее, дрени­ рующей полосообразный пласт конечной длины [39], или с задачей определе­ ния показателей разработки газовой залежи системой скважин, размещенных в центральной зоне (при соответствующей схематизации пласта).

§ 7. Применение электрических моделей для решения фильтрационных газогидродинамических задач

Многие задачи, которые приходится решать при проектировании, анализе и определении перспектив разработки газовых и газоконден­ сатных месторождений, сводятся к интегрированию дифференциаль­ ных уравнений параболического типа. Необходимость учета боль­ шого многообразия геологических факторов приводит к существен­ ному усложнению исходных дифференциальных уравнений. Часто

Впервые возможность решения на электрических сетках диффе­ ренциальных уравнений в частных производных показал С. А. Гершгорин, а затем Л. И. Гутенмахер. Применительно к фильтрационным задачам метод электроаналогий использован Л. И. Гутенмахером, Ю. Г. Толстовым и М. Маскетом. Дальнейшим исследованиям при­ менительно к решению теоретических и практических задач разра­ ботки нефтяных и газовых месторождений методом электроаналогий посвящены работы Л. И. Гутенмахера, П. М. Белаша, А. П. Кры­ лова, Л. Г. Когана, М. М. Максимова, О. И. Дорохова, Г. Либмана, У. Карплюса и других исследователей [3, 22, 37, 46, 47, 81].

126

Идею метода электроаналогнй проще всего проследить на примере основного уравнения теории упругого режима фильтрации. Уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде относится к дифферен­ циальным уравнениям параболического типа. При фильтрации однородной жидкости в неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде распреде­

Здесь к ( х , у ) , Р*(х, у ) , h (х, у ) — соответственно коэффициенты прони­ цаемости и упругоемкости, а также мощность пласта в точке с координатами х и у; р. — коэффициент динамической вязкости жидкости.

Процессы, происходящие в электрической сетке, составленной из сопро­ тивлений R и емкостей С по схеме рис. 40, в любой момент времени также опи­ сываются аналогичным дифференциальным уравнением

и техники моделирования, которые описываются в специальной литературе

[17, 37].

Сопоставление уравнений (1) и (2) показывает, что давлению р в пласте может быть поставлено в соответствие напряжение и в рассматриваемой элек­ трической сетке. Следовательно, вводя коэффициент пропорциональности (подо­ бия) Ср между потенциалом и в некоторой точке электрической сетки и давле­ нием р в геометрически подобной точке пласта, можно написать

Согласно теории подобия, для достижения геометрического подобия обла­ стей (натуры и модели) каждому шагу сеточной области модели должен соответ­ ствовать линейный размер пласта М, называемый масштабом электрической сетки:

хУ_

При решении на электроинтеграторах задач подземной гидродинамики аналогом электрических сопротивлений являются фильтрационные сопротивле­

Вводя коэффициенты подобия CR и Ср, можно установить соотношение между указанными электрическими величинами и параметрами продуктивного пласта:

Коэффициенты подобия должны быть установлены и между временами про­ текания электрических и фильтрационных процессов. Обозначая коэффициент подобия для времени через С;, запишем

1 Об учете краевых условий при решении уравнений типа (1) и об особенно­ стях методики моделирования будет сказано ниже.

127