Файл: Дмитриев, В. Н. Основы пневмоавтоматики.pdf

Касательные напряжения, пли напряжения трения т, возни­ кающие в вязкой жидкости, выражаются формулой Ньютона1:

dv

т =

Знак минус взят потому, что производная от скорости течения воздуха по радиусу ■— величина отрицательная, а напряжение трения по смыслу — величина положительная 2.

Рис. 13. К расчету течения газа в капилляре:

а — элемент потока; 6 — схема капилляра

Записывая условие равновесия сил, получим следующее урав­ нение:

интеграла и проинтегрировать по у. Тогда

Постоянную интегрирования с найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т. е. ѵ = 0 при у —г, где г •— радиус капилляра. Тогда получим следующее выражение для местной скорости:

по формуле (Хд = 1,71-ІО-5 + 4,94-10~8 ГС [— ].

dv

2 Действительно, тангенс угла наклона касательной ~~— к кривой про­ филя скоростей— величина отрицательная.

36

Если по капилляру течет несжимаемая жидкость, то профиль скоростей будет оставаться постоянным во всех сечениях, и, сле­ довательно, V не будет зависеть от х. Тогда можно проинтегри­ ровать уравнение (7) второй раз:

Подсчитаем объемный расход

dp л

dx 8ц.д

Для несжимаемой жидкости Q = const, и полученное уравне­ ние для этого случая можно проинтегрировать еще раз и полу­ чить окончательное выражение для объемного расхода

Найдем выражение для массового расхода G воздуха с уче­ том его сжимаемости. В пределах элементарного участка струи dx плотность постоянна. Однако на протяжении всей длины / капилляра от сечения к сечению плотность, в силу сжимаемо­ сти воздуха, является переменной величиной. Находя из уравне­ ния состояния значение р и подставляя в формулу для массового расхода, получим следующее выражение:

где d = 2r.

Уравнения (8) и (9) называются формулами Пуазейля для сжимаемой вязкой жидкости.

При выводе формул предполагалось, что профиль скоростей параболический. Это предположение оправдано тем, что участок, ограниченный сечениями АА и ББ, был выбран за пределами начального участка. При расчете расхода воздуха через капил­ ляр, включенный по схеме, показанной на рис! 13, б, следует

•37

иметь в виду, что здесь уже не наблюдается параболическое рас­ пределение скоростей по диаметру во всех сечениях. На началь­ ном участке капилляра /„ будет происходить формирование про­ филя скоростей, т. е. на начальном участке профили скоростей в различных сечениях не будут параболическими. Однако, если перепад давлений р\ — достаточно мал, а отношение Ijd ве­ лико, то значение по отношению к I будет весьма незначи­ тельным и им можно пренебречь.

Рис. 14. Схемы для расчета течения через щели:

Как известно [9], коэффициент кинетической энергии а, вхо­ дящий в уравнение Бернулли, для капилляра в случае несжи­ маемой жидкости равен 2.

Проведем расчет ламинарного течения вязкой сжимаемой жидкости в капилляре типа тонкой плоской щели. Рассмотрим процесс течения воздуха между двумя плоскостями (рис. 14, а, б) по щели прямоугольного сечения. Пусть высота щели равна а, длина /, ширина Ь. Выделим внутри щели элементарный участок длиной dx, в пределах которого плотность постоянна. Ось. х на­ правим по длине щели на расстоянии а/2 от верхней плоскости, ось у — в направлении высоты щели. Кроме того, будем считать, что b а, при этом условии течение в щели можно рассматри­ вать как течение между двумя плоскостями. На выделенный элемент газа действуют силы, обусловленные давлением р и p + dp, а также касательным напряжением т. Сила, действующая слева, равна 2(р + dp) by, а справа — 2pby, суммарная сила от касательных напряжений равна 2bdxx.

Условие равновесия всех сил, действующих на выделенный элемент, можно записать так:

—2рЬу + 2(р + dp)by—2bdxx —0.

38

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

dpy = xdx, откуда следует, что т = у— . Вместе с тем, учитывая, dx

что на основании закона вязкого трения Ньютона т = —ид— , и

' dy

приравнивая правые части в выражениях для касательных на­ пряжений, найдем, что

du dy

Так как производная — не зависит от у и, следовательно, dx

может быть вынесена за знак интеграла, получим

Постоянную интегрирования с находят из следующих гранич­ ных условий: при у = а/2, ѵ = 0. Определив постоянную интегри­ рования для профиля скоростей в щели, находим следующую зависимость:

1 а2 dp

.ЦД 8 dx

Для несжимаемой жидкости последнее уравнение можно про­ интегрировать второй раз аналогично тому, как это было сдела­ но для расчета течения в круглом капилляре. Получим оконча­ тельное выражение для местной скорости

Найдем максимальную скорость течения несжимаемой жид­ кости в капилляре прямоугольного сечения. Скорость течения будет максимальной, если член, стоящий в квадратных скобках формулы (10), будет иметь максимальное значение, т. е. равен единице, что соответствует у = 0. Поэтому

ѵа"{Р\ — Рг)

Заметим, что, так как b а, ширина щели b не входит в фор­ мулы для подсчета скорости.

Вычислим объемный расход несжимаемой жидкости, проте­

кающей через щель:

а

Т

Q = 2 j bvdy.

о

Подставив значения скорости ѵ и выполнив интегрирование,

найдем

Q а*Ь(Рх—рг)

12Цд/

39

Учитывая, что объемный расход равен произведению площади сечения F = ab щели на среднюю скорость, можно записать

Q = jW _ fl6 &

1,5 р

откуда следует, что средняя скорость при течении несжимаемой жидкости в щели

Определим массовый расход газа, протекающего через щель прямоугольного сечения, с учетом его сжимаемости. На протяже­ нии длины I плотность воздуха в силу сжимаемости будет вели­ чиной переменной. Считая процесс течения изотермическим и

После интегрирования найдем

а3Ь

G 2ApÄlRT (р?-/>!)■

Вычислим значение коэффициента кинетической энергии а для случая течения несжимаемой жидкости по щели. Для этого подставим выражения (10) и (11) в формулу искомого коэффи­ циента

Выполняя интегрирование, окончательно найдем, что коэффи­ циент кинетической энергии для узкой щели а ~ 1,54.

Таким образом, величины коэффициентов кинетической энер­ гии для капилляра круглого сечения и капилляра типа щели прямоугольного сечения не совпадают. Это объясняется тем, что при течении газа в капилляре круглого сечения неравномерность

цевым зазором аналогичен выводу формул для щели с той лишь разницей, что за ширину принимается длина окружности сред­ него диаметра d = 2г (рис. 14, г). Выделим некоторый элемент потока газа (рис. 14, д) с центральным углом diр н длиной dx.

40