Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Делением на а 0 уравнение (II 1.22) приводится к стандартной форме записи

называется собственным оператором структурного элемента, а много­ член

— оператором воздействия или операторным коэффициентом усиле­ ния. Форма операторов служит классификационным признаком струк­ турных моделей преобразователей. Наиболее часто встречаются из­ мерительные преобразователи следующих типов:

На измерительные преобразователи в большинстве случаев осу­ ществляется статическое воздействие: К {р) — S 0. Значительно реже встречаются операторы вида S 0 -j-Sjp и S Q-f- S xp - f Sip2.

Изменение во времени выходного сигнала у х (t), вызванное из­ менением х х (t), определяется функцией

У\ (0 — Ъск*Рк* , k=i

где pk — корни характеристического уравнения D (р) — 0 (пред­ полагается, что нет кратных корней). Исследование корней харак­ теристического уравнения удобно проводить, приведя его к безраз­ мерной форме, то есть определяя корни в функции от безразмерных комплексов — критериев подобия.

Порядок характеристических уравнений измерительных преобра­ зователей обычно невысок, поэтому ограничимся рассмотрением уравнения вида

йзр3 -}- ct%p2 - j - р йо = 0. (II 1.23)

Перейдем к безразмерному отсчету времени; для этого положим t — qx, где q — константа, имеющая размерность времени и являю­ щаяся новым масштабом времени; т — безразмерное время. Оче­ видно, что

dn = dn

(III.24)

dtn qndxn

73

Подставляя (III.24) в (H I.23), получаем

где рх = dldx — символ дифференцирования по т.

Так как на выбор константы q ранее не накладывалось каких либо условий, то можно принять, что a3/a0q3 = 1 , откуда

гг——

С помощью такой подстановки, называемой нормированием урав­ нения (III.23), получаем характеристическое уравнение

Рх ЩРх ~Ь зггРт 1 — О,

где

Величины я i и я 2, полученные методом преобразования уравне­ ния (III.23), безразмерны и отвечают всем свойствам критериев по­ добия. Впервые они были введены основоположником теории авто­ матического регулирования И. А. Вышнеградским.

Полученные критерии подобия полностью определяют в без­ размерной форме и характер временных характеристик. Расчет пере­ ходных процессов систем третьего порядка по критериям я х и я 2 приведен в работе [73].

Очевидно, что для системы второго порядка при q —

имеется один критерий подобия

=

V#2^0

адля системы первого порядка критерий подобия

зависит от произвольного выбора константы времени, и в частности,

лизации используется операторный метод, основанный на преобра­ зовании Лапласа. Если в уравнении (III.22) при нулевых началь­ ных условиях перейти к преобразованиям Лапласа, то можно за­ писать

(III.25)

74

что представляет собой два различных по математическому описанию выражения для операторной формы коэффициента преобразования. Если рассматривать П (р) как отношение двух полиномов, то входя­ щий в него символ р имеет смысл dldt\ если же обратиться к отно­ шению изображений х х и у х по Лапласу, то символ р будет операто­ ром преобразования Лапласа. В обеих формах записи получается тождественное по структуре выражение П (р), которое в теории автоматического регулирования принято называть передаточной функцией.

Так как подавляющее большинство измерительных преобразова­ телей по смыслу выполняемых функций должно прежде всего реагиро­ вать на статическое воздействие, то величина П (р) часто представ­ ляется в виде

П (р) — S 0S (р),

где S 0 = П хх — статический коэффициент преобразования (чувстви­ тельность преобразователя); 5 (р) — операторная составляющая коэффициента преобразования.

Погрешность измерения, вызванная особенностями динамиче­ ского режима, для произвольного реального преобразователя опре­ деляется как разность сигналов уХо6р (/) и у х (t) при подаче на входы реального и образцового преобразователей одного и того же воздей­

для выделения чисто динамической составляющей погрешности при­ мем Я 11обр (Z) = П хх, т. е. будем сравнивать свойства реального инерционного преобразователя с его свойствами на статическом ре­ жиме. Тогда

что дает выражение абсолютной динамической погрешности, отсчи­ танной от уровня сигнала данного прибора на установившемся ре­ жиме работы.

Подставив значения уХобр (t) из (III.21) в уравнение (III.22) и воспользовавшись (III.25), получим

(III.27)

где р = dldt — символ дифференцирования. Если же символу р придавать смысл оператора Лапласа, то

75

Уравнения (III.27) и (III.28) представляют собой две формы записи расчетного выражения, позволяющие определить Дд (t) при заданной передаточной функции для любых х г (t).

Передаточная функция измерительного преобразователя является основой динамических расчетов в тех случаях, когда свойства всех элементов измерительной цепи заданы достаточно точными диффе­ ренциальными уравнениями. Часто процессы в элементах не на­ столько изучены, чтобы можно было доверять числовым значениям коэффициентов уравнений, или сами формы уравнений требуют опытной проверки. В таких случаях в основу расчетов кладут не дифференциальные уравнения, а так называемые динамические ха­ рактеристики, которые могут быть относительно просто получены экспериментально [9], [126].

Динамические характеристики по роду изменения входной ве­ личины х х (t) принято условно разделять на частотные и временные.

Частотные характеристики. При подаче на вход линейного пре­ образователя гармонического воздействия

х г = A sin соt

на выходе устанавливаются колебания по закону

у г = В sin (оД + ср).

Отношение BIA является мерой коэффициента преобразования и зависит от частоты колебаний со; фазовый сдвиг ф также опреде­ ляется значением со. Зависимость г = BIA = f (со) носит название амплитудно-частотной, а зависимость ф = / (со) — фазо-частотной характеристики. У линейного преобразователя амплитуда В про­ порциональна А, и поэтому его частотные характеристики не за­ висят от А. Если преобразователь не является линейным, то форма колебаний выходного сигнала у г отлична от синусоидальной и ампли­ туда ее колебаний не пропорциональна А. Колебания выходного сигнала у г в этом случае можно представить рядом Фурье и после этого порознь для каждой гармоники построить частотные харак­ теристики для каждого значения А.

Кривые г — f (со) и ф = / (со) можно объединить в одну в пло­ скости комплексного переменного, если их использовать в качестве модуля и аргумента выражения, называемого комплексным коэф­

Для его получения достаточно в уравнении передаточной функции произвести замену оператора р на 7со. На рис. 16 изображены ампли­ тудная и фазовая частотные характеристики апериодического эле­ мента второго рода

(ТъР -j- Tip -j- 1 ) У\ — kxi,

76

уравнение которого приведено к безразмерной форме

Здесь л: 0 и у 0 — значения переменных х г и у х в статическом режиме; Р = я х/ 2 — так называемая степень успокоения элемента

(см. стр. 105); т = T ^ lt. При установившемся синусоидальном из­ менении измеряемой величины относительные частотные характери­ стики такого элемента записываются в виде

77

где о) = со/соо —- отношение частоты колебаний х х к собственной частоте со0 = 1/Т2. Для сравнения на тех же графиках изображены амплитудная и частотная характеристики апериодического элемента

первого рода. При равенстве нулю частот со все амплитудные харак­ теристики равны единице, а с повышением отношения частот в конце

концов асимптотически приближаются к нулю. При Р < 1 / К 2 ~ 0,707 имеется максимум кривых амплитудных характеристик.

При ( 3 = 0 максимум кривой (равный оо) соответствует отношению частот, равному единице. С возрастанием р пик кривой амплитудночастотной характеристики перемещается в сторону уменьшения от­

теристики с операторной формой коэффициента преобразования зна­ чительно облегчает исследования измерительных цепей, состоящих частично из элементов, имеющих дифференциальные уравнения, и частично из элементов, удовлетворительное аналитическое описание которых не найдено. Амплитудно-фазовые характеристики послед­ них определяются экспериментально.

Кроме того, сопоставление расчетных и опытных частотных ха­ рактеристик одного и того же преобразователя служит эффективной проверкой правильности математического описания процессов пре­ образования, представляющего собой обычно более или менее удач­ ную аппроксимацию. Примеры подобного рода приведены в 1153 ] и [30].

Временное характеристики. Этим термином объединяются зави­ симости z/i = / (t) при подаче на вход измерительного преобразова­ теля различных испытательных воздействий х г = f (t). Среди воз­ можных форм функций х г = f (t) особенно широко используются два вида типовых воздействий. Одно из них представляет собой ска­ чок единичной высоты (единичный скачок, или функция Хевисайда),

78

подаваемый на вход измерительного устройства в момент времени t = = 0 ; по определению

_ | (0 = 1 при < ^ 0 ;

'\ (0 = 0 при t < 0 .

Отклик на воздействие единичного скачка принято называть пере­ ходной характеристикой системы h (t) (рис. 18). Если уровень скачка не равен единице, а составляет величину А 0, то соответствую­ щая реакция у х (t) элемента будет определяться простым соотноше­ нием

В качестве второго вида испытательного воздействия обычно при­ нимается кратковременный импульс высотой А 0 и продолжитель-

ностью Ат. При этом вводится нормирование, а именно: импульс должен отвечать условию

00

f A0d t = l ,

б

где А о —>сю и А т—>О (идеализация). Такое испытательное воздей­ ствие называется единичным импульсом б (t) или функцией Дирака. Реакция системы на воздействие единичного импульса называется импульсной или весовой характеристикой g (t) (рис. 18, б). Мате­ матически единичный импульс представляет собой производную от единичной функции. В реальных исследованиях не достигается пол­ ной идеализации импульса, поэтому (для линейных систем)

со

«/1 (*) = £(*) 1 Axdt,

о

где интеграл выражает площадь ненормированного импульса, в об­ щем случае не равную единице.

Временные и частотные характеристики равноправны, так как они легко взаимно преобразуются. Связь временных характеристик

79