Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Критерий подобия, вошедшие в уравнение (1.5), состоят из двух групп относительных величин. Это, во-первых, относительные переменные (критерии) параметрического типа. Их введение вызвано следующим обстоятельством. Часто по условиям задачи в числе переменных хс содержатся две (и более) величины одной и той же физической природы и размерности (например, частота собственных колебаний и частота внешних возмущений, скорость абсолютного движения среды, скорость ее относительного движения и скорость распространения возмущений в этой среде и т. п.). Такие параметры могут входить в критериальные уравнения в виде простых отношений одноименных величин Sj (например, число Маха М и др.). Чаще всего встречаются параметрические критерии геометрической природы, вы­ ражающие условия геометрического подобия систем, в которых прог исходит рассматриваемый процесс. Аналогичным образом параметри­ ческие критерии физической природы выражают условие подобия соответствующих полей.

Во-вторых, в уравнение (1.5) вошли безразмерные степенные ком­ плексы, составленные из размерных параметров процесса.

Физический процесс полностью описывается системой основных уравнений и присоединенных к ним граничных и начальных условий в том случае, когда эта система является замкнутой. Тогда прин­ ципиально возможно получить решение относительно любой из не­ известных величин, т. е. выразить решение рассматриваемой си­ стемы уравнений в виде функции

Uj = fi С^1» ^2» • ■•> ^я)>

где уJ — искомая неизвестная (зависимая) величина; xt — незави­ симые переменные.

Аналогично система уравнений вида (1.5) может быть разрешена относительно неизвестного критерия подобия

ПУ] ~ fj (Л 1! • • Ч Я /-)>

где пу . — определяемый (зависимый) критерий подобия; л к — опре­

деляющие (независимые) критерии (k — 1, . . ., г; г — р — 1). Очевидно, что определяющие критерии составлены только из

величин xt и не включают в себя у-г

Для того чтобы выяснить, какие из входящих в уравнения пере­ менных являются независимыми, необходимо определить следующие условия однозначности протекания изучаемого процесса: геометри­ ческие свойства системы, в которой происходит процесс (включая систему координат); существенные для рассматриваемого процесса физические характеристики тел, образующих систему; начальное и конечное состояния системы; условия на границах системы в тече­ ние процесса.

Поскольку любая комбинация критериев подобия также является критерием подобия, то внутри системы критериев всегда можно выделить так называемые «определяющие», которые состояли бы только из величин, входящих в условия однозначности. Отсюда

18

непосредственно следует основное правило моделирования, сформу­ лированное М. В. Кирпичовым и А. А. Гухманом: подобны те про­ цессы, для которых численно одинаковы соответствующие опреде­ ляющие критерии. Число определяющих критериев устанавливается формулой

число основных размерностей, из которых составлены независимые переменные.

Возможны два основных способа получения систем критериев подобия процессов: структура критериев может быть определена ме­ тодами анализа размерностей величин, характерных для данного процесса, или путем тождественных преобразований уравнений про­ цесса. Законы подобия могут быть выведены из анализа размерностей физических параметров, обусловливающих данное явление. По­ скольку два подобных явления отличаются лишь масштабом соот­ ветствующих величин, то из определения размерности следует, что соотношения, получаемые для безразмерных величин, должны быть одними и теми же в обоих случаях. В этом и заключается связь теории подобия с анализом размерностей. Рассмотрим технику ис­ пользования метода анализа размерностей на следующем примере.

Предположим, что изучается работа центробежного насоса, перекачивающего жидкость. При испытаниях такого насоса обычно интересуются зависимостью вход­ ной или выходной мощности Р от производительности при постоянном числе обо­ ротов я. Определим координаты экспериментальных обобщенных графиков — кри­ терии подобия процессов в насосе. Потребляемая мощность кроме я зависит также от секундного объемного расхода Q, плотности жидкости р, перепада давления Др между выходом и входом в насос, линейных размеров /1; /2, . . . , / „ рабочего колеса и других элементов насоса, т. е.

f (Р, п, Q, Ар, р, I, 1Ъ /2, . . ., /„) = 0.

Здесь I — характерный размер, в качестве которого часто используется диаметр рабочего колеса DK. При фиксированной геометрии насоса

/ (Р, я, Q, Ар, р, I) = 0,

число размерных параметров равно шести, а минимальное число первичных размер­ ностей равно трем (например, М — размерность массы, L — длины, Т — времени); следовательно, число критериев подобия равно трем. Так как комбинация из без­ размерных критериев также безразмерна, то ее размерность относительно величин М, L, Т должна быть нулевой, что позволяет записать

Учитывая, что по условиям задачи Р — зависимая величина, получаем окончательно критериальную связь в виде

Если бы задача ставилась иначе, например, если бы исследовалось изменение напора Ар в зависимости от скорости вращения и расхода при постоянной вход­ ной мощности, то зависимым критерием был бы комплекс АрР/pQ2 и связь между критериями подобия записывалась бы как

легкость получения безразмерных комплексов (отметим попутно, что приведенный способ составления комбинаций далеко не единственный; в работах [48 ] и [63 ] рассматриваются иные, не менее простые, способы). Использование при этом я- теоремы дает возможность оценить по предварительным данным сложность резуль­ тата анализа. К недостаткам метода следует отнести прежде всего некоторую неопре­ деленность в составе критериев подобия (в примере произвольно выбраны незави­ симыми mlt т 2 и тп4) и полное отсутствие сведений об аналитическом виде функ­ циональной зависимости между критериями. Кроме того, от интуиции исследователя зависит перечень физических параметров, принимаемых во внимание. Последнее обстоятельство наглядно поясняется на рассмотренном примере. Полученные урав­ нения выражают подобие процессов при установившемся движении через конкрет­ ный насос различных жидкостей, отличающихся значениями плотности. При этом не учтено влияние вязкости жидкости. Если включить в перечень исходных пара­ метров величину р, (динамическая вязкость жидкости), то число определяющих кри­ териев подобия увеличится на единицу за счет числа Re, характеризующего режимы течения жидкости. В данном примере допустимо этого не делать, так как в центро­ бежном насосе реализуется лишь турбулентное течение, при котором коэффициент вязкого трения практически постоянен. Поэтому учет числа Re приведет лишь к мас­ штабному изменению экспериментальных графиков. При желании распространить полученные условия подобия на серию насосов в число исходных величин должны

Большей полнотой обладает метод получения критериальных свя­ зей путем анализа системы уравнений, описывающих изучаемый про­ цесс. Каждое уравнение, обладающее свойствами гомогенности, мо­ жет быть представлено в виде зависимости между безразмерными ком­ плексами и симплексами, составленными из размерных величин, вошедших в это уравнение. Число критериев подобия, получаемых

20

в результате анализа уравнений, равно числу членов исходных урав­ нений (если они не приводят частично к тождественным критериям), уменьшенному на единицу. К этому добавляются число безразмерных аргументов трансцендентных функций, если таковые содержатся в членах уравнений, и число критериев — симплексов.

Предположим, что рассматривается замкнутая система уравнений процесса, приведенная к форме

2 n i (ХУ) =

га

где П j — некоторые операторы, каждый из которых определяет какой-либо физический эффект, существенный для исследуемого процесса. Делением всех членов суммы на один из членов, выбранный произвольно, получаем

Относительные операторы Kj содержат в своем составе критерии подобия Яу, характеризующие эффекты, описываемые операторами Я у и Пк, и могут быть представлены в виде

Kj = fljTij,

где rij — вещественное число (масштабный множитель). Выделение критериев я ;- проще всего осуществлять путем предварительного перехода под знаком операторов Яу к относительной форме перемен­ ных. Например, основные дифференциальные уравнения теплопереноса и гидродинамики состоят обычно из операторов вида

где а — некоторый размерный параметр (например, физическое свой­ ство); Ь, с — натуральные числа. Вводя безразмерные переменные

(здесь величина с индексом принята за масштаб), подставим выраже­ ние для Я в (1.8), полагая k — 1, получаем

т—1

21