Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

В последние годы широко развилось новое направление матема­ тической теории — планирование экспериментов, представляющее собой наиболее разработанный раздел общей математической теории эксперимента. При этом процесс исследования делится на опреде­ ленные этапы; после каждого этапа исследователь получает инфор­ мацию, позволяющую ему изменять стратегию исследования. Методы планирования экспериментов опираются на методы, используемые при математической оптимизации (особенно это касается методов ли­ нейного и нелинейного программирования).

2. Планирование экспериментов

Математические модели строятся на основе учета лишь главных свойств объектов исследования. Для реализации сложных теплотех­ нических устройств всегда необходимо изучить (и оптимизировать) влияние большого количества факторов, не поддающихся аналити­ ческому описанию. Проведение таких исследований возможно лишь опытным путем.

При постановке и проведении экспериментальных исследований в подавляющем большинстве случаев возникают задачи двух типов. Во-первых, целью эксперимента может быть определение вида связи между входными воздействиями х и х 2, ■■ хь прикладываемыми к объекту исследования, и результатом осуществляемого на объекте преобразования — выходом у х при заданных уровнях величин z lt z2, . . ., zn, характеризующих особенности устройства и работы объекта. Определение вида связи

У1 = f (хъ Х2, . . ., Xh ZX, z 2, . . ., zn)

представляет собой по существу отыскание оценок коэффициентов преобразования Я /ь необходимых для интерполяции поведения объекта в условиях, не изученных при экспериментах. Во-вторых, целью большинства технических экспериментов на стадии создания и доводки объекта является опытное определение таких (оптималь­ ных) значений величин zu z 2, . . ., zn и воздействий х 2, х3, . . ., хь которые обеспечивают максимум (или минимум) коэффициента ос­ новного преобразования Пп .

Очевидно, что непосредственно по результатам опытов не могут быть выведены математические закономерности. Экспериментальные данные могут быть использованы лишь для проверки и уточнения принимаемых математических моделей путем определения числовых

Задачи первого типа (интерполяция) требуют использования не­ линейных моделей зависимости (II.2). В тех случаях, когда это возможно, такие модели строятся на основе изучения физических связей между переменными; тогда же, когда физические зависимости аналитически установить трудно или невозможно, прибегают к ап­ проксимации зависимости (II.2) нелинейными выражениями.

31

При осуществлении экспериментов следует иметь в виду, что нелинейные зависимости оцениваются по результатам опытов с пере­ менной в диапазоне изменения аргументов точностью. Поэтому не­ обходимо выбирать переменные интервалы между значениями аргу­ мента так, чтобы оцениваемая зависимость имела одинаковую точ­ ность на всем ее протяжении. В идеальном случае точность примерно пропорциональна квадрату числа отсчетов, поэтому если на одном участке криволинейной зависимости точность в два раза меньше, чем на другом, то на первом участке необходимо получить в четыре раза больше точек, чем на втором. Только при этом между каждой парой соседних точек экспериментальной кривой будут заключены одинаковые отрезки. Например, пусть экспериментальная кривая является функцией одного аргумента

У = / М •

Для любой непрерывной дифференцируемой функции общее вы­ ражение для малого отрезка AS кривой будет

Условие постоянства AS приводит к соотношению . между t-м (между точками 1,2) и (t + 1)-м интервалами изменения х вида

К сожалению, по ряду причин не всегда можно на практике обеспе­ чить обоснованный таким образом выбор шага изменения аргумента при проведении опытов.

Задачи второго типа (оптимизация) успешно решаются без ис­ пользования выражений, непосредственно вытекающих из физических представлений о процессах в объекте. Современные статистические методы планирования оптимальных экспериментов почти целиком основаны на применении полиномиальных уравнений (линейных или невысокого порядка), аппроксимирующих неизвестную зависимость

(П.2).

Задача оптимизации объекта исследований по результатам экс­ периментов может формулироваться следующим образом. Известно, что выбранная оценка функции качества Я /(. зависит от многих пере­ менных, причем относительно некоторых из них нет априорных сооб­ ражений о значимости воздействий на Я уГ Ряд переменных во время эксперимента не контролируется; уровни остальных переменных и Я уЧизмеряются непосредственно или рассчитываются по результатам измерений. Требуется определить значения независимых переменных, обеспечивающие максимум (или минимум) Я у7 в области, ограничен­

ной по заданию или реализуемой в условиях проведения эксперимен­ тов.

32

Для численной оценки зависимость (11.2) аппроксимируется урав­ нением

Получаемое на основании экспериментов уравнение регрессии имеет вид

где П — значение П п, предсказанное уравнением (выборочная оценка для П н).

Математическая обработка результатов измерений производится с целью определения оценок коэффициентов регрессии и статистиче­ ского анализа уравнения (П.З) в целом (см. раздел четвертый). Ма­ тематический аппарат регрессионного анализа построен на основе определенных предпосылок [89]. Для определения коэффициентов регрессии полинома порядка т при w независимых переменных и N результатов наблюдений над величиной П необходимо, чтобы удов­ летворялось соотношение

При этом предполагается, что выполнены следующие условия:

1)результаты наблюдений Пр (v = 1, . . ., N) представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

2)дисперсия n v однородна, т. е. не зависит от условий проведения опытов, а определяется только точностью измерения Tlv и влиянием неконтролируемых переменных;

3)точность установления и поддержания на заданных уровнях

независимых переменных qp столь высока, что их можно считать неслучайными.

Только при выполнении этих условий могут быть в принципе вычислены оценки коэффициентов регрессии уравнения (П.З),

оценка дисперсии (FIV—Я )2, характеризующая рассеяние точек от­ носительно найденного уравнения регрессии, оценки дисперсий коэффициентов, характеризующие ошибки в определении вели­

чин 6о, bp, Ьгр, Ьрр. . ., оценки коэффициентов корреляции между любыми парами коэффициентов регрессии, характеризующие их ста­ тистическую взаимозависимость. Наконец, могут быть определены доверительные границы для каждого коэффициента и проверены не­ которые исходные гипотезы. Однако подобный подробный анализ результатов в общем случае связан с большими вычислительными

трудностями, которые зависят от метода получения эксперименталь­ ных данных, или, как сейчас говорят, от плана проведения экспе­ риментов.

Планирование экспериментов — это определение минимально необходимого числа опытов, условий и последовательности их про­ ведения по некоторой заранее составленной схеме. Выбор плана проведения экспериментов, с одной стороны, зависит от свойств объ­ екта исследования и особенностей протекающих в нем процессов, а с другой стороны, подчиняется требованиям методов анализа ре­ зультатов измерений.

Важной особенностью процессов в объекте является возможность повторного воспроизведения всех условий некоторого данного экс­ перимента. По существу, все технические эксперименты невоспроиз­ водимы в том смысле, что ни один объект или прибор после опреде­ ленных действий не возвращается к в точности идентичному состоя­ нию. Примером тому могут служить испытания по оценке надежности при максимальных нагрузках, когда происходит прогрессивное ухудшение свойств объекта, или такие испытания, при которых про­ исходит интенсивная коррозия или изменяется структура материала деталей объекта. Для невоспроизводимых экспериментов последова­ тельность проведения опытов однозначна; возможны лишь ограни­ ченное варьирование условиями работы объекта и выбор числа опы­ тов; независимая переменная qp изменяется скачкообразно от одного ее предельного значения до другого.

Планы подобных экспериментов получили название последова­ тельных. При этом всегда существует вероятность получения зна­ чительных неучтенных систематических погрешностей, наличие ко­ торых затрудняет или даже делает невозможным корректный мате­ матический анализ результатов. Однако применение последователь­ ных планов не всегда связано с невозможностью применения иных способов проведения экспериментов. В работе [146] приведены не­ которые примеры постановки экспериментов, когда только последо­ вательное изменение условий осуществления процессов в объекте позволяет выявить важные особенности изучаемых процессов. Обычно к таким явлениям относятся переходы от одного режима трения к дру­ гому, выявление гистерезисных эффектов и т. п. Наконец, исполь­ зование последовательного плана может определяться стоимостью, сложностью или продолжительностью осуществления запуска объекта испытаний.

При исследовании теплотехнических объектов в большинстве случаев невоспроизводимость экспериментов проявляется в виде незначительного изменения свойств или условий проведения опытов так, что их трудно выявить на фоне случайных ошибок измерений. В этом случае эксперименты можно считать условно воспроизводи­ мыми и с целью исключения систематических ошибок использовать не последовательные, а случайные планы. План эксперимента, по которому изменение независимых переменных выбирается случай­ ным образом, называется рандомизированным. При этом некоторым уровням независимых переменных присваиваются определенные

34

номера (или индексы). Выбор последовательности проведения экс­ периментов назначается по случайной последовательности этих номеров, которая определяется с помощью таблиц случайных чисел или простейшими игровыми способами. Рандомизация — основной отличительный признак статистического планирования.

Традиционный нестатистический план исследования сводится к постановке опытов в такой последовательности, чтобы при переходе от одного опыта к другому изменялось значение только одной неза­ висимой переменной, а все остальные переменные оставались бы на каком-то фиксированном уровне. Если между независимыми пере­ менными существует простое математическое соотношение, то можно определить зависимость П /(- от изменяемой переменной qp. Затем все переменные, кроме следующей qp+1, устанавливаются на постоян­ ных уровнях; с помощью изменения фр+1 находится зависимость П jt от qp+v Во всех опытах требуется знать значения зафиксированных переменных и поддерживать их строго постоянными от опыта к опыту.

Не говоря о том, что подобный перебор всех переменных практи­ чески осуществить трудно, традиционный (или, как его часто назы­ вают, классический) план эксперимента имеет ряд принципиальных недостатков. Во-первых, при обработке результатов в этом случае для оценки каждого из коэффициентов регрессии используется только малая часть проведенных опытов. Коэффициенты регрессии оказы­ ваются попарно коррелированными, соответствующие эффекты не разделяются. Во-вторых, при большом числе переменных число чле­ нов полинома (П.З) слишком велико даже для обработки на вычис­ лительных машинах. Так, при порядке полинома т = 2 и числе исследуемых переменных w = 20 только число членов полинома (П.З), содержащих парные взаимодействия вида qrqp, достигает 190; при т = 2 и w = 60 это число доходит до 1770. В-третьих, по резуль­ татам классического эксперимента трудно оценить дисперсию

(Ilv—П)2, так как влияние неконтролируемых переменных может иметь систематический характер. И, наконец, в этом случае невоз­ можно построить обоснованный критерий выбраковки измерений, содержащих грубые ошибки.

Использование статистических планов проведения экспериментов позволяет устранять влияние неконтролируемых переменных, упро­ щает обработку результатов при одновременном сокращении объема вычислительных работ, приводит к повышению точности или к со­ кращению объема экспериментов, при оптимизации объектов позво­ ляет разработать четкую стратегию поиска экстремума функции ка­ чества П ц.

В основу идей статистического планирования положен метод факторного эксперимента, основные особенности которого поясним на следующем простом примере1. Пусть при исследовании модели двухкомпонентного двигателя требуется опытным путем найти значение коэффициента избытка окислителя а (определяемого как

1 Пример построен аналогично примеру, приведенному в [133]. Цифры про­ извольные.

отношение действительного и стехиометрического соотношений се­ кундных расходов окислителя и горючего) и относительной длины

камеры сгорания I (выраженной в калибрах), обеспечивающие ма­ ксимум удельного импульса давления камеры. Предполагая, что в малой области поверхность от­

ниями а и I; например, два значения а — 0,5 и 1 и два значения / — 1,00 и 2,00 (рис. 5). В кодовой записи такой план имеет вид:

Код переменных

№Точка на

Таким образом, обеспечивается простейшая рандомизация плана с условием, что во всех точках сочетания уровней переменных раз­ личны. Чтобы определить уравнение плоскости, наилучшим образом соответствующей этим четырем точкам, рассмотрим ошибку уравне­ ния, определяющего значение р,

Д . = р. _ b0x0i — b±a t — Ъ4Ь

(здесь t — номер эксперимента, р, — полученное из опыта значение функции качества Р). Если провести все четыре эксперимента, то сумма квадратов для этой ошибки составит

44

=S (Р/ — bo^oi — Ь\&1 — b'Ji)2. i=i <=i

36