Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Используя, как обычно, метод наименьших квадратов для опреде­ ления оценок коэффициентов Ь0, Ьг, Ь2, получаем систему нормаль­

Отсюда видно, что все коэффициенты регрессии не могут быть опре­ делены независимо друг от друга. Возможное изменение порядка полинома или опускание в нем части членов должно приводить к из­ менениям численных значений всех остальных коэффициентов. От этого можно избавиться переходом к ортогональному плану

здесь же приведены получаемые из опытов значения функции ка­

37

Построение ортогонального плана приводит к тому, что оценки коэффициентов регрессии оказываются некоррелированными, ста­ новится возможным добавлять или опускать некоторое количество членов уравнения регрессии, значительно упрощаются вычисления оценок коэффициентов. Действительно, решая последнюю систему уравнений, получаем

i=i

4

/= 1

4

i=l

и линейное приближение уравнения поверхности отклика можно теперь представить как

на двух кодовых уровнях +1 и —1 позволило получить оценки коэф­ фициентов независимо друг от друга по весьма простым формулам. Коэффициенты здесь определены с дисперсией a 2 jb0} = о2 {Ьг\ = = с 2 \ Ь2\ = а 2 {Р]/4.

При традиционном подходе к той же задаче коэффициенты можно было бы получить минимум из трех опытов: в первом опыте обе пере­ менные фиксируются, например, на нижнем уровне; во втором опыте на новый (верхний) уровень переводится только а; в третьем опыте —

только I. Каждый из коэффициентов при этом может быть определен по двум точкам с дисперсией, равной о2 \ Ь0] = о2 \ ЬХ\ = а2 {Ь2\ = = о2 {|3}/2. Следовательно, чтобы получить результаты с одинаковой точностью, при классическом плане нужно поставить шесть опытов вместо четырех при факторном планировании.

Эффективность факторных экспериментов увеличивается с уве­ личением числа независимых переменных, включаемых в программу исследований. Не следует однако думать, что во всех случаях дело обстоит так же просто, как в рассматриваемом элементарном при­ мере. Здесь ортогональность плана позволяет сразу отбрасывать пе­ ременные, коэффициенты при которых оказываются незначительными. В данном частном случае этот план оказывается одновременно и ро­ татабельным, т. е. таким, что дисперсия а 2 {|3} не меняется при вра-

38

щении координатных осей. В более сложных случаях эти свойства плана могут оказаться несовместимыми и в зависимости от практиче­ ских требований будет отдано предпочтение тому или иному типу плана.

Для планирования сложных экспериментов очень важно четко определить критерий оптимальности плана. В специальных работах по планированию экспериментов предложено большое количество различных критериев оптимальности. В настоящее время наиболее развита теория построения D-оптимальных и G-оптимальных планов

[93].

Рис. 6. Контуры равных откликов на поверхности отклика

При обработке измерений методом наименьших квадратов в слу­ чае, когда регрессионная функция линейна относительно неизвест­ ных параметров, как уже говорилось, эффективные оценки этих параметров находятся совместно. D -оптимальный план миними­ зирует объем эллипсоида рассеяния оценок параметров в заданной области пространства параметров. План называется G-оптималь­ ным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную величину дисперсии функции качества в области планирования.

Продолжим рассмотрение примера. Чтобы определить оптималь­

ные значения а и I, можно использовать идеи методов математиче­ ского поиска. Следующую серию опытов надо провести в области со­ четания переменных, дающих большее значение функции качества, чем в первой серии. Применим метод «крутого восхождения». Ис­

39

Уравнение линий равных откликов имеет вид

*2 = - j ( y — 165,5 — 4,5х,),

и их угловой коэффициент равен —4,5/4. Двигаясь в направлении, перпендикулярном этим контурам, можно ожидать появления боль­ ших значений отклика.

Чтобы принять решение о возможном наборе переменных для по­ следующего эксперимента, определим направление нормали к кон­

факторный эксперимент можно планировать вокруг точки с коорди­ натами х х = 1/2, л:2 = 4/9, что получается при пересчете по формулам кодирования переменных (II.5). Теперь эксперимент ставится в точ­ ках а, Ь, с, d (рис. 7), и после анализа снова выбирается направление крутого восхождения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не достигается оптимум.

Рассмотренный план позволяет определить направление после­ дующих экспериментов, но из-за малого числа степеней свободы не

40

дает хорошей оценки для ошибки эксперимента, позволяющей про­ верить значимость оценок коэффициентов, и, кроме того, здесь отсут­ ствует какая-либо возможность проверить адекватность принятой плоской модели. Одним из способов улучшения этого плана является

выбор двух или более точек в центре плана (ац, /ц). Повторение экс­ перимента в той же точке дает оценку ошибки эксперимента, а сред­ нее значение откликов в центральной точке — возможность проверить гипотезу линейного приближения.

При большем числе факторов модель поверхности отклика ста­ новится более сложной, однако, найдено несколько полезных планов для оценки коэффициентов этих поверхностей [89], [93].

Метод линейного приближения не позволяет описать поверхность отклика в широком интервале варьирования независимых перемен­ ных, поэтому оптимизация объектов производится путем «шагового» описания поверхности отклика. Вначале ставится небольшая серия опытов для описания исходного участка поверхности отклика поли­ номом первой степени, далее движением в направлении градиента опыты переносятся в новую область поверхности, и такой шаговый процесс продолжается до тех пор, пока не определится «почти ста­ ционарная область», где линейное приближение оказывается не­ достаточным; здесь ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго, а иногда и третьего порядка. Таким путем достигается высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая содержит искомый оптимум.

В настоящее время имеется достаточно технической литературы, посвященной методам планирования экспериментов (см. библио­ графию в книгах [89] и [133]), что позволяет подбирать подходящие планы при решении новых технических задач.

41