Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Как отмечают Кендел и Стьюарт [62], ответить на вопрос, как велико должно быть п, чтобы можно было пользоваться нормаль­ ными аппроксимациями, не всегда просто. Для некоторых распреде­ лений, в частности для распределения выборочного среднего, вполне удовлетворительная аппроксимация получается при п = 30. В слу­ чае других статистик хорошая аппроксимация получается лишь при значительно больших л; например, для распределения оценки коэф­ фициента корреляции при выборке из нормальной совокупности даже столь большие значения п, как 500, недостаточно еще хороши. Скорость приближения распределения статистики к нормальному распределению зависит как от типа распределения исследуемой гене­ ральной совокупности, так и от рассматриваемой статистики. Обычно (но не всегда) можно считать, что значения п ^ 500 являются боль­ шими. Значения п ^ 100 также оказываются для многих целей до­ статочно большими. С этой точки зрения к значениям, меньшим 100, надо относиться осторожно. Значения меньше 30 очень редко можно считать большими.

В других работах по математической статистике в зависимости от решаемой задачи и стремления не получить слишком грубой ошибки даются следующие рекомендации по выбору граничного значения числа наблюдений между большими и малыми выборками. В. И. Ро­

чисел наблюдений от 30 до 40. Наконец, Я- Янко [157] считает таким числом 50.

Таким образом, использование понятий малые и большие вы­ борки зависит от задачи статистического исследования и связывается с получением большей (или неприемлемой) либо меньшей (приемле­ мой) ошибки.

2, Погрешности измерений

Цель измерений заключается в определении истинного значения измеряемой величины А, которая полагается существующей. Истин­ ное значение измеряемой величины — это значение, идеальным об­ разом отражающее свойство данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении [26]. Оно не зависит от средств по­ знания и является той абсолютной истиной, которую стремятся выразить в виде числового значения. Результат измерения, напротив, есть продукт познания и зависит от его средств: метода измерения, технического оснащения эксперимента, субъективных особенностей человека, осуществляющего измерение.

При прямых измерениях, когда искомое значение измеряемой величины определяется или путем непосредственного сравнения ее с мерами, или посредством измерительных приборов, градуирован­ ных в установленных единицах, легко обнаруживается, что несмотря на постоянство основного комплекса условий, их результаты более или менее разнятся друг от друга, испытывая рассеивание. Причины

393

искажений и их характер весьма разнообразны. Они могут быть вызваны недостатками измерительной аппаратуры, несовершенством органов чувств наблюдателя, непостоянством условий наблюдений, неполнотой знаний о всех обстоятельствах наблюдаемых явлений и, наконец, неправильными действиями экспериментатора. Разница А между результатом измерения X' и истинным значением А измеряе­ мой величины называется ошибкой или погрешностью измерения

А = X' — А.

Поскольку истинное значение А измеряемой величины неиз­ вестно, то неизвестна и погрешность измерения. Поэтому для полу­ чения приближенных сведений о ней вместо истинного значения А приходится использовать так называемое действительное значение измеряемой величины. Под действительным значением измеряемой величины понимается значение, найденное экспериментально и на­ столько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него.

Наличие погрешностей вносит ограничение в число достоверных значащих цифр числового выражения измеряемой величины и опре­ деляет правильность, годность и точность измерения [83]. Погреш­ ности измерений можно объединить в две основные группы.

1. Погрешности, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерения. Их отличительная особенность — сохранение такой тенденции поведения при повторных измерениях одной и той же величины, или детерминированный характер проявления. Такие погрешности называются систематическими погрешностями измерения. В качестве примеров систематических погрешностей ука­ жем погрешности мер, происходящие от неправильной их подгонки; погрешности показаний измерительных приборов вследствие непра­ вильной градуировки шкал; погрешности, вызываемые неправильной установкой или расположением мер и измерительных приборов; погрешности, вызываемые изменением температуры мер и измери­ тельных приборов и т. п. Отсутствие систематических погрешностей определяет правильность измерений. Результаты измерений по­ стольку правильны, поскольку они не искажены систематическими погрешностями, и тем правильнее, чем меньше эти погрешности. Влияние систематических погрешностей на результаты измерения исключают опытным путем, вводя найденные из наблюдения по­ правки или располагая наблюдения определенным образом.

2. Погрешности, величина которых принимает в процессе измере­ ния те или иные значения в зависимости от случая. Их отличитель­ ная особенность — невозможность точной реализации одной и той же величины при повторных измерениях, или вероятностный характер проявления. Такие погрешности называются случайными погреш­ ностями измерения. В отличие от систематических случайные по­ грешности нельзя исключить путем введения поправок в результаты измерений. Причина этого кроется в природе случайных явлений. Пути и методы их исследования разрабатываются в теории вероят-

394

ностей, а построение подходящих моделей для описания результатов опытов ‘— в математической статистике.

При создании измерительной аппаратуры и организации процесса измерения в целом интенсивность проявления большинства факторов, обуславливающих появление случайных погрешностей, удается свести к такому уровню, что все они влияют на формирование этих погрешностей более или менее одинаково. Однако некоторые из них, например внезапное падение напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом эксперимента в целом. Такие погрешности в составе случайной по­ грешности называются грубыми. К ним тесно примыкают промахи — погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправиль­ ным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом пока­ заний или ошибками при записи результатов [26]. Наблюдения, содержащие грубые погрешности и промахи, должны быть отброшены

Если при обработке измерений систематические и грубые погреш­ ности исключены, а также промахи исключены, оставшиеся случай­ ные погрешности определяют точность измерений. Результаты изме­ рений постольку точны, поскольку они не искажены относительно принятого уровня случайными погрешностями, и тем точнее, чем больше имеется оснований считать эти погрешности малыми.

Так как Д есть разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины, то ее принято называть абсолютной погрешностью измерения. Абсолютная погрешность включает в себя все возможные ошибки измерения и может быть представлена в виде суммы

Д = 0 + б,

где 0 — систематическая, а б — случайная погрешности.

Для получения результата, минимально отличающегося от истин­ ного значения величины, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных. Поэтому важно изучение погрешности как функ­ ции номера наблюдений или времени. Тогда отдельные значения погрешностей можно трактовать как набор значений этой функции

функция Д (t) должна рассматриваться как случайная функция вре­ мени, а ее значение Д (tt) в i-й момент наблюдения как сечение этой случайной функции. При многократных наблюдениях в каждом се­ чении можно найти среднее значение погрешности, относительно которого они группируются. Если через точки, соответствующие средним значениям, провести плавную кривую, то она будет характе­ ризовать общую тенденцию изменения погрешности во времени. Величина среднего значения погрешности определяется действием факторов первой группы и представляет собой систематическую

395

погрешность 0, в i-ы сечении случайной функции Д (t). Отклонения бг/- от ве будет представлять j-e значение случайной погрешности б в t-м сечении функции Д (/). Таким образом, в каждом сечении i слу­ чайной функции Д (t) имеет место равенство

д г/ = 0 Ш + Вн­

если систематическую погрешность удается тем или иным спосо­ бом исключить из результатов наблюдений, то AiJ- = бг/-, средние значения которых в каждом сечении равны нулю. Если случайные погрешности в различных сечениях не зависят друг от друга, т. е. их значения в одном сечении не дают никакой дополнительной ин­ формации о значении, принимаемом этой погрешностью в другом сечении и параметры генеральной совокупности случайной погреш­ ности не меняются от сечения к сечению, то в каждом сечении функ­ ции Д (t) случайные погрешности можно рассматривать как незави­ симые реализации одной и той же случайной величины. В этих условиях б определяется как разность между исправленным резуль­ татом измерения X = X' — 0 и истинным значением А измеряемой величины

Цель измерения — это оценка истинного значения измеряемой величины А, которое до опыта неизвестно. Результат же измерения X = А + б, включающий в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, также является случайной величиной. В этих условиях не ясно, какое значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность. Ответы на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики и теории вероятностей, имеющих дело именно со случайными величи­ нами.

Основываясь на этих методах, прежде всего покажем, что оценка истинного значения измеряемой величины А есть математическое ожидание исправленного результата измерения X. Для этого решим уравнение (XII. 1) относительно X и, воспользовавшись свойством математического ожидания, найдем математическое ожидание X

М (X) = М (А) + М (б).

Так как М (А) = А, а М (б) = 0, то А — М (X). Следовательно, за истинное значение измеряемой величины должно приниматься математическое ожидание исправленного результата измерения.

Используя свойство дисперсии, отражающей рассеивание слу­

Так как а 2 (А ) = 0, то а 2 (б) = а 2 (X). Итак, если точность измере­ ния характеризуется рассеиванием, и в частности дисперсией, то она должна определяться дисперсией результата измерения X.

396

В метрологии в качестве показателей точности наиболее часто рассматриваются следующие характеристики рассеивания: среднее квадратическое или квадратичное отклонение а; вероятная или сре­ динная погрешность (ошибка); Е — погрешность, вероятность быть меньше или больше которой одинакова и равна 0,5. Например, при нормальном распределении X этот показатель точности равен интер­ валу, границы которого находятся на расстоянии 0,675а от матема­

величин.

Уравнение (XII. 1) есть линейная зависимость между случайными величинами 6 и X с масштабным параметром (коэффициентом преоб­ разования) равным единице и параметром сдвига А. Если в резуль­ тате эксперимента определилась плотность распределения исправлен­ ного результата измерения / (х), то плотность распределения случай­ ной погрешности 6

Ф (б) = / (6 + Л),

где А = М (х).

Таким образом, исправленные результаты измерений могут рас­ сматриваться как реализации случайной величины X, которая является источником информации как для оценки результата измере­ ния, так и характеристики его точности.

3.Систематические погрешности

Вотличие от случайных погрешностей изучение которых по­ строено на статистико-вероятностных методах, систематические по­

грешности требуют индивидуального подхода, основанного, как

397