Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

• • • — т. Если гипотеза Н 0 подтверждается, это значит, что ни одно из измерений нельзя считать анормаль­ ным. В противном случае минимальное (максимальное) измерение следует исклю­ чить.

Статистический критерий для проверки этой гипотезы обычно выбирают с учетом возможных альтернативных, т. е. взаимоисключающихся, гипотез. Обычно гипотезе Н 0 противопоставляются следую­ щие гипотезы: максимальное измерение анормальное, так как оно принадлежит к гене­ ральной совокупности, мате­ матическое ожидание которой

как оно принадлежит к гене­ ральной совокупности, мате­ матическое ожидание которой меньше т. Эта гипотеза обо­ значается # 7 ; максимальное либо минимальное измерение анормальное, так как одно из них принадлежит к гене­ ральной совокупности, мате­ матическое ожидание которой не равно т\ эта гипотеза обо­ значается Н х.

Если объем выборки п не очень велик, а отклонение от т значительно превышает а, то для проверки гипотезы #„ используются критерии, ста­ тистики которых представ­ ляют собой функции крайних значений вариационного ря­ да: минимального х г или мак­ симального хп. В табл. 34 приводятся статистики этих критерйев для каждой кон­ курирующей гипотезы в за­ висимости от того, известны

402

или неизвестны параметры т и сг. Здесь

(s*)2 =

—— x)2, если m неизвестно.

Если вычисленная статистика критерия (£+, £_ или £) превышает или равна критическому значению этой же статистики, то гипотеза #„ должна быть отвергнута.

Процентные точки критического значения наибольшего норми­ рованного отклонения

Критерии, приведенные в табл. 34, составлены для нормального распределения. Другим типам распределения соответствуют свои критерии. Так, например, если х ъ . . ., хп — вариационный*ряд взаимно независимых случайных изменений, подчиняющихся экспо­ ненциальному распределению с параметром К = 1 1т, то для оценки

принадлежности хп к данной совокупности может быть использован критерий Р. Фишера

i=i

Проверка этой гипотезы состоит в вычислении критерия цп и сравнении его с критическим значением этой статистики

8а ( п ) = 1 —

где а — уровень значимости критерия. Если r\n ^>ga (п), то гипо­ тезу о принадлежности шах х( к данной совокупности наблюдений следует отвергнуть. Для распределений других типов подобные оценки либо не разработаны, либо таблицы соответствующих кри­ териев приводятся в малодоступных изданиях.

Если кривая плотности исследуемого распределения не суще­ ственно отличается от колоколообразной формы в первом приближе­ нии, допустимо пользоваться критериями для нормального распре­ деления. Если распределение исходной совокупности близко к экс­ поненциальному, оценка промаха при наблюдении максимального члена выборки может производиться по критерию цп. Если же эти рекомендации по тем или иным причинам не могут быть приняты, для получения точных результатов можно воспользоваться мате­ риалами, например, следующих работ: [136, 129, 46].

Г Л А В А XIII

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Точечные оценки средней и рассеивания

При отсутствии систематических погрешностей результаты изме­ рений группируются около действительного значения измеряемой величины А. По мере неограниченного возрастания числа измере­ ний центр группирования приближается к А сколь угодно близко. Центром группирования случайной величины X является началь­ ный момент первого порядка, называемый математическим ожида­ нием т. Обычно действительная величина т неизвестна и в качестве ее оценки используется среднее арифметическое значение

где п — объем выборки; xt — одна из реализаций случайной вели­ чины X.

404

Если п велико, то суммирование всех значений х может оказаться весьма трудоемким. Для значительного сокращения вычислений наблюдения группируются по интервалам, и все значения в каждом интервале приравниваются среднему значению интервала. Такой прием хотя и дает лишь приближенный результат, но для практи­ ческих целей он, как правило, бывает удовлетворительным, если только групповые интервалы взяты не слишком большими. Причем методическая погрешность имеет тем меньшее значение, чем менее точно производится измерение каждого х£. При интервальном груп­ пировании X средняя арифметическая величина

(XIII.2)

Здесь г — число интервалов; пк — число х;, попавших в к-й интер­

вал; хк — среднее значение к-го интервала. Величина х зависит от конкретной реализации (хх, . . ., хп) и, следовательно, является

случайной величиной. При использовании х вместо т случайную

переменную х называют точечной оценкой для т. Характеристикой рассеивания случайной величины X около ее

математического ожидания является центральный момент второго порядка, называемый дисперсией D [х] или а 2. Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим, квадратическим или квадратичным отклонением, которое выражается в тех же единицах, что и исходная случайная величина. Если тип распределения и его параметры неизвестны, то несмещенная оценка дисперсии, вычис­ ляемая по ряду наблюдений х ±, . . ., х„,

П

которая, как и х, является точечной. Вместо этого выражения не­ редко используется более удобная для вычисления форма

Необходимо иметь в виду, что последние две формулы могут при­ водить к заметным ошибкам округления.

Если первичные статистические данные сгруппированы по интер­ валам, то можно использовать тот же прием приближенного вы­

числения, который применяется при расчетах средней величины х. Группируя статистические данные по интервалам надо помнить, что приравнивание всех значений X интервала его середине является приближением. Показано, что если распределение X непрерывно, a f (х) стремится к нулю в обоих направлениях, то в оценку диспер­ сии, полученную на основе сгруппированных данных, целесообразно

405

ниц, a sf есть оценка дисперсии, полученная непосредственно из сгруппированных данных, то скорректированная величина оценки дисперсии равна

Если общая численность наблюдений невелика, то поправка Шеп­ парда имеет второстепенное значение по сравнению со случайными колебаниями выборки.

До сих пор предполагалось, что результаты измерений равно­ точные, т. е. являются простой случайной выборкой из одной и той же генеральной совокупности. В то же время нередко измерения вы­ полняются в различных условиях или приборами, обладающими разной точностью. Если они независимы и свободны от системати­ ческих ошибок, то их математические ожидания равны, но диспер­ сии различны. Это обстоятельство и является характерной чертой неравноточных измерений. За оценку действительного значения измеряемой величины в этом случае принимают

П

х = Е §ix i-

1—1

«Веса» gi выбираются так, чтобы предпочтение было отдано ре­ зультатам, имеющим большую точность

лов состоит в том, что закон распределения оцениваемого параметра, зависящий от типа распределения случайной величины X, чаще всего во время проведения эксперимента бывает неизвестен. Если распре­ деление случайной величины X относится к нормальному типу, то для построения доверительных интервалов т и о используются/точ­ ные формулы, приведенные в табл. 35. Аргумент / 2, входящий в~выражения для та и т&, является табулированным значением аргу-

406

0В— верхняя доверительная граница квадратичного отклонения.

мента распределения Стьюдента и находится по таблицам, например

[16], имеющим два входа: v = п — 1 и Q = 0,5 (1 — р 2) 100%.

Аргументы Zi и z 2, входящие в выражения для он и сгв, табули­ рованы для значений v = l-r-100. При v >>100 значения zx и г 2 вычисляются по формулам:

фициент доверия р 2 связан с уровнем значимости а, являющимся одним из входов в таблицу, следующим соотношением: р 2 = 1 — 2 а. Если выборки не слишком малы, при любом типе распределения X можно использовать приближенный метод построения доверитель­ ного интервала, основанный на нормальной аппроксимации распре­

деления величины х.

Границы доверительных интервалов тн и тв в этом случае опре­ деляются как симметричное отклонение величины u2s!V п около х.

тельного интервала математического ожидания в этом случае при­ ведены в табл. 35. Эти же формулы можно использовать для опреде-

407