Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

Приближенные формулы для определения доверительных гра­ ниц для а также приведены в табл. 35. Входящая в эту формулу

т. е. 12 и и 2. При одном и том же коэффициенте доверия р 2 и при ма­ лом п t 2 всегда больше чем и 2. Поэтому и доверительный интервал, построенный точным способом, оказывается не уже, а шире прибли­ женного интервала. Разница между t 2 и и 2 уменьшается по мере увеличения числа наблюдений и снижения коэффициента доверия. Приближенный метод дает надежные результаты уже при п 5> 30 и р2 = 0,90-г-0,95. В то же время применять его при п <С 10 вряд ли целесообразно. Заметим, что приближенные формулы для опреде­ ления ан и аБ дают надежные результаты лишь при п > 100. При­ менять их при я < 20 не рекомендуется [114, 139].

При определении доверительных интервалов выбор величины доверительной вероятности в значительной степени зависит от той цели, которая ставится. Желание лучше застраховаться от возмож­ ной ошибки приводит обычно к выбору весьма больших доверитель­ ных вероятностей (порядка 0,99 и более). Однако следует иметь в виду, что всякая перестраховка в статистических исследованиях имеет и свои отрицательные стороны, так как чем больше доверительная вероятность, тем шире границы для неизвестного параметра. Опыт показывает, что выбор доверительных вероятностей, равных 0,95 и

Решение задачи исследования случайной величины не может считаться законченным без оценки закона или типа ее распределения. Знание типа распределения позволяет обоснованно пользоваться оценками и методами, разработанными для конкретных типов рас­ пределения, что приводит к более точным и достоверным выводам. Сведения о типе распределения несут большую информацию о фи­ зическом смысле рассматриваемого явления или процесса. В неко­ торых случаях только они могут стать достаточными для принятия практически важных решений.

Знание типа распределения случайных погрешностей позволяет понять характер спектра факторов, влияющих в процессе измерения на показание прибора. Так, распределение нормального типа сви-

408

детельствует о том, что случайные погрешности измерений представ­ ляют собой общий результат большого числа независимых слабых воздействий. Следует обратить внимание на то, что подобный резуль­ тат может быть практически точно получен и при некоторых других типах распределения погрешностей.

Хорошей иллюстрацией этому служит статистическая модель распределения погрешностей, отвечающая гамма-распределению. Плотность этого типа распределения имеет следующий вид:

№ х1! - 1 ехр (— Ах), х О, X > 0, г] > 0; /(* )= { ГМ

0 в остальных случаях,

где т] — параметр формы; X — параметр масштаба; Г (т)) — гаммафункция. Гамма-распределение описывает распределение случай­ ной погрешности, появляющейся под воздействием равно г) незави­ симых возмущающих факторов при допущении, что их действие про-

исходит с постоянной интенсивностью X. Если X — параметр, влия­ ющий лишь на масштаб распределения, то ц — существенный па­ раметр, меняющий форму кривой плотности, которая при изменении от 1 до 1 2 трансформируется от экспоненциальной до практически симметричной колоколообразной формы. Процесс этой трансформа­ ции показан на рис. 168. Как видно из рисунка, при г] = 1 кривая распределения относится к резко асимметричному и островершин­ ному распределению экспоненциального типа. При ц = 2 наиболь­ шее значение / (х), или мода распределения, смещается вправо. При этом увеличивается рассеивание и уменьшается островершин­ ность кривой. Дальнейший рост ц приводит к еще большему удале­ нию моды f (х) от начала координат, возрастанию рассеивания, округ­ лению вершины и утрате кривой асимметричной формы. Уже при

409

Таким образом, если статистическая модель исследуемого слу­ чайного явления отвечает гамма-распределению, то кривая плот­ ности распределения может иметь самые различные формы, свиде­ тельствующие, в частности, о неодинаковом числе факторов,

висимо от факторов, обуславливающих, например, нормальное рас­ пределение погрешностей, действуют пиковые нагрузки в виде меха­ нических перегрузок прибора, также приводящие к возникновению случайных погрешностей. Так, если расходомером, имеющим нор­ мальное распределение случайных погрешностей в стационарных условиях, производят измерение расхода топлива на движущемся объекте, то плотность распределения погрешностей под влиянием этих двух групп независимых причин может быть записана в сле­ дующем виде [381:

Кривые плотности такой функции представлены на рис. 169, Если 1 /К << т, то кривая f (х) напоминает экспоненциальную функ-

410

цию (кривая к = 2). При обратной ситуации (т < 1/Я) график при­ обретает явно выраженный горб и уже при к = 0 , 2 напоминает кри­ вую плотности нормального распределения.

Таким образом, знание закона распределения случайных погреш­ ностей дает возможность не только с максимальной достоверностью произвести оценку истинного значения измеряемой величины и точности ее измерения, но и представить физическую картину дей­ ствия скрытых от наблюдателя факторов, определяющих рассеива­ ние. Поэтому рассмотрим вопрос о нахождении закона распределе­ ния F (х) по результатам опытов хь . . ., хп. Общий подход со­ стоит в том, что сначала из каких-либо физических соображений или статистических процедур определяется тип (семейство) распределе­ ния, а затем подбираются пара­

Из построения следует, что ее площадь равна единице. Более строго гистограмма определяется как график кусочно постоянной функции,

Предполагая, что в интервале RK плотность f (х) меняется незна­ чительно, получаем:

где хк — любая точка интервала RK. На этом основании иногда счи­ тают, что при большом числе наблюдений гистограмма всегда стре­ мится к плотности / (х). Это неверно. Для того чтобы это было так, необходимо выполнить довольно сложное соотношение между числом

411