Файл: Бошняк, Л. Л. Измерения при теплотехнических исследованиях.pdf

стную бумагу. Затем, используя таблицу обратной функции нор­

(362,2; 0,6); (366,8; 0,8). Через эти точки проведем прямую. Эту операцию жела­ тельно выполнять с помощью метода наименьших квадратов. Из рис. 171 следует, что экспериментальные точки почти совпадают с прямой. Следовательно, распре­ деление результатов измерений не противоречит предположению о их принадлеж­ ности к нормальному типу. Затем приступим к оценке искомых параметров. Для

= 359,1 К.

Для определения квадратичного отклонения необходимо вычислить масштаб­

Характер графиков, соответствующих распределениям, отлич­ ным от нормального, показан на рис. 172 [146]. Следует заметить, что отклонение точек в области очень больших или очень малых значений F {х) всегда больше, чем в средней части распределения. Это не всегда свидетельствует о плохом согласии с нормальным законом и является обычным [128].

418

4. Некоторые задачи статистического анализа результатов измерений при нормальном распределении

Уже давно было замечено, что распределение погрешностей наблюдений близко к распределению нормального типа. Немало из встречающихся выборочных совокупностей являются нормально распределенными — либо точно, либо с достаточной степенью при­ ближения. Инструментальные ошибки измерений также нередко имеют нормальное распределение относительно истинного значения либо относительно некоторой средней систематической ошибки. Этот факт отмечается всеми авторами работ, посвященных оценкам погрешностей измерений.

Теоретическим обоснованием использования нормального рас­ пределения служит одна из центральных предельных теорем теории вероятностей. Согласно ей распределение среднего независимых случайных величин, распределенных по любому закону (или даже имеющих до N различных распределений с конечными математи­ ческими ожиданием и дисперсией), при неограниченном увеличении числа наблюдений в выборке приближается к нормальному. Хотя центральная предельная теорема связана с большими выборками, распределение выборочного среднего стремится к нормальному даже при относительно небольших значениях п, если значения дис­

не слишком отклоняется от нормального. На примере гамма-распре­ деления, рассмотренного в начале этого раздела, было показано, что уже 1 2 независимо действующих факторов приводят к распреде­ лению, практически не отличающемуся от нормального.

Несмотря на то, что область изменения нормально распределен­ ной величины лежит в интервале от —оо до +оо, а большинство реальных величин имеют конечный верхний или нижний предел (иногда и оба), это не мешает использовать нормальное распределе­ ние для описания таких случайных величин, у которых среднее отстоит от предела на большое число (более 3—4) квадратических отклонений. Сказанное позволяет считать, что в практике оценки погрешности измерений нормальное распределение должно встре­ чаться, по крайней мере, не реже остальных типов распределения. Учитывая, что многие типы распределений, кривые плотности ко­ торых мало отличаются от нормальной, часто допустимо аппрокси­ мировать последней, следует сделать вывод о превалирующем зна­ чении нормального распределения в исследованиях, связанных с оценкой погрешности измерений. Ошибка, вследствие неверно принятого допущения о нормальности распределения, будет различ­ ной в каждом конкретном случае. Многие статистические методы, разработанные при этом допущении, остаются справедливыми в слу­ чае умеренных отклонений от распределения нормального типа. В то же время, если допущение о нормальности распределения оши­ бочно используется для определения доли попаданий случайной величины выше или ниже некоторого значения, лежащего в области

больших отклонений от среднего, то могут возникать большие ошибки.

Нормальное распределение будет неподходящей статистической моделью во всех случаях, когда измерения производятся неисправ­ ными приборами, а также приборами, имеющими значительное рас­ сеивание показаний и несоразмерно ограниченную по диапазону измерений шкалу. К нарушению нормальности могут приводить нелинейные преобразования. Например, диаметр шариков под­ шипников иногда^определяется на основании измерения их веса. Прибор, измеряющий вес, может давать показания, подчиняю­ щиеся нормальному распределению [146]. Но так как диаметр про­ порционален кубическому корню из веса, распределение значений диаметра будет уже асимметричным.

Заметим, что плохое согласие с нормальным законом может быть следствием не только несоответствия выбранной модели фак­ тической, но и статистической неоднородности наблюдений (непо­ стоянства измеряемой величины, условий опыта, зависимости ре­ зультатов эксперимента друг от друга и т. д.).

Учитывая большую практическую ценность работ по статисти­ ческим оценкам и критериям, связанным с нормальным распреде­ лением, остановимся на ряде методов рациональной обработки ре­ зультатов наблюдений, полученных на этой основе. Рассмотрим слу­ чай статистической проверки некоторых предположений об оценках среднего, дисперсии, а также об отсутствии систематических ошибок или расхождений двух методов измерений. Последние необходимы при проверке равноточности наблюдений. Как было показано выше, результаты измерений позволяют получить оценку математического ожидания наблюдаемого параметра, которая является случайной величиной. Наряду с использованием интервальной оценки иногда целесообразно оценить абсолютную ошибку, которая совершается

при замене т и х. Если результаты измерений равноточны и лишены систематической ошибки, то абсолютная ошибка, вызванная исполь­

зованием среднеарифметической величины х вместо математического ожидания т нормальной случайной величины X, определяется как [16]

Часто измерение одного и того же параметра объекта исследова­ ния совершается сериями. Иногда каждая серия измерений произ­ водится приборами, имеющими разную точность. В этом случае перед объединением полученных результатов для вычисления сред­ него значения параметра следует убедиться в том, что математи­ ческие ожидания каждой серии наблюдений равны. Рассмотрим ме-

420

тод проверки гипотезы о равенстве средних значений в двух сериях наблюдений.

Пусть х 1Ъ . . ., х 1п и х 21, . . ., х 2п — реализации взаимно не­ зависимых случайных величин, подчиняющихся нормальному рас­ пределению с параметрами т ъ и т 2, а 2. Для проверки гипотезы о равенстве параметров т 1 и т 2 используется критерий

С--- 9 . sVni9 . •

Sl/nl + s2/n2

Далее отыскивается приближенное верхнее критическое значение статистики укр в функции от п г, п 2, си Q (Q — выбранный уровень критического значения в процентах) [16].

Если окажется, что v икР, то проверяемую гипотезу следует отвергнуть. В противном случае с вероятностью Р = 1 — Q/100 можно считать, что т 1 = т 2.

Серии измерений, осуществляемые в примерно одинаковых внешних условиях инструментами одинаковой точности, одним и тем же числом приемов, наблюдателями одинаковой квалификации, обычно считаются практически равноточными. Тем не менее иногда экспериментатор может допускать субъективную ошибку в оценке перечисленных факторов и принять за действительное — желаемое. Поэтому совместное использование различных серий измерений тесно

1=1

ные данные позволяют оценивать Q-процентные точки т (Q) ста­ тистики М для определенных Q в зависимости от k, а также от вспо­ могательных величин:

k

<хшло>

i—l

421