Файл: Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 47

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

w?, =

-/« (sin 20fc+1 - sin 20fc) In^±i ;

 

 

 

 

 

 

 

rt

 

 

w*y-

 

 

8 р{ -A

 

 

 

®A+1 Pi+i

 

b

 

тгг

3/a

f

 

fa

Г

С

p3 sin 20

w xz = ~ Y

J

J

j

■ (

_j_ y3)>/, dpdddy = -

у (cos 20fc+1 - cos 20Д.) X

(60)

(61)

0fc Pi -b

x (21npm & + >'pT+B)

Pi (Ь +

^ рЗ+1 + b-) Vr+i + Ь2

+ ь*

W £ =

P.-+1.

- / a (cos 2 0 fc+1 - cos 2 0 *) In J

’

 

Pi

(62)

(63)

 

®fc+i Pi+1

A

 

0

 

 

W g, = 3fo

 

p-у sin

0 ;

(64)

 

-i (P2 +

 

i j dpdQdy =

 

ek

pi

Vs)'i <3

 

 

 

Ofc+lPi+l

ь

 

COS2 0) ,

,

 

W, - *

J I

 

' P (У- — P2

 

Г

 

 

 

 

 

ek Pi

-A

 

 

 

 

= /° {(9fc+i — ©*) 1

3b. - - ~ —" ^ 5 = ^ " ) — Y (sin 26*+1 — sin 20*) X

^Pf+i + b*

 

VPi + V

)

 

 

 

X 2 In Pi+i (b + ^Pf +

b1)

____ b

'V< + 62

Pi (b +

^ j +, +

И

^pj+i + b2

TV” =

—/a (s in 2 0 k+1— sin 2 0 * ) ^ ^ - .

 

 

 

 

Г*

(65)

(6 6 )

Ввиду сходства формул (10) и (11) в вертикальной цилиндри­ ческой системе координат вычислим только некоторые интегралы:

 

 

“*+1 *i+i

*

V-z COS a

 

 

 

W x z = 3 f a

 

 

 

 

 

 

 

dldadz ■

 

 

 

 

“*

1 i

0

(Z2 + Z2)5b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zj+1 Oi +

 

+ z2)

Zi4

_

Z.-

= /° (sin a*+1 — sin a*) ( l n

- ^

 

 

 

 

 

; (67)

 

 

m + ^i+i + *s) 1

 

 

 

 

=

 

 

 

Z.-

;

 

(6 8 )

 

/° (sin afc+1 — sin efc) In ^

 

“fc+i *i+i »

№г sin a

 

 

 

 

 

Ш

 

 

 

 

 

(;2-pz2)%

dldadz = —/° (cos a*+i — cos afc) X

ak U 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(;. +

y/z? +

Z2)

Z.+i

Z;

 

(69)

X In

 

 

 

 

^Zj+1 + z2

\Zzi — z2

Z,- (h + i 4~ ^ZJ+j + z2j

 

40

 

 

 

 

 

\ 7

^'+1

;

(70)

 

 

и7” = —fa (COS акл.х— cos ад.) In

—j —

аЛ+» li+

/3 (sin2 а — COS2 a)

dldadz■ -/= 1 4- (sin 2 aft+l

 

w. =3,° I 11

(12 +

z2)S/»

sin 2ak) X

«Ь

г* о

 

 

 

 

 

 

 

X

2In ^l’+ l ( Z +

+ 22)

__

-

,

 

(71)

 

 

(z + ^j+i + z'-)

^<+i + z2

^7

 

 

 

 

 

 

 

 

+i

(72)

 

 

w™ = —/a (sin 2 a/c+1 — sin 2ak) In -j-

 

Сравнение полученных фор­ мул позволяет выявить соот­ ветствия выражений для про­ изводных в горизонтальной и вертикальной цилиндрических системах координат (табл. 6). В табл. 6 сомножители 1/2 и 2 означают, что мы имеем дело с гравитационными эффектами от половины или удвоенной длины цилиндрических тел, симметричных относительно плоскости XOZ или XOY. Ана­ лиз формул (56)—(72) свиде­ тельствует о том, что можно предложить только две уни­ версальные палетки для вы­ числения всех вторых про­ изводных гравитационного по­ тенциала от двухмерных и трехмерных тел по их горизон­ тальным и вертикальным сече­ ниям.

Таблица 6

Аналоги формул для вторых производных гравитационного потенциала в горизонтальной и вертикальной цилиндрических системах координат

Горизонтальная

Вертикальная

цилиндрическая

цилиндрическая

система коор-

система координат

динат

w xx

2 W XX

w yy

2 W „

W

2 W yy

YY гг

1

w xs

T w *y

 

l

2 W x „

W v*

~ 2 w y*

W a

—

 

 

^ 4

Расчет палеток и номограмм

Введем обозначения

 

 

С21—

^Pf+i +

v'p? + &2

 

In Pt+l

 

 

Р;

2In Р.-+1 (ь +

 

(7 3 )

^pjj + И

ь

ь (ь +

^ +1+ И

^Р.Ч1 + Ы + '\^н гр

С22 :

21п;Р.-+1

 

Р<

41

и перепишем исходные формулы в горизонтальной цилиндрической системе координат:

I F

_тд/со Г------- ^+ 1___^ к ------ р

р

хх ~

хх l_sin 2 0 fc+1 — sin 2 0 ,, c' 2i

° 22j ■

0,,+i —0,.

W , . I=F ”

 

sin 2&k

+ C 22

(74)

« Lsin 20,,+1 -

 

l'^ = T F “

 

 

 

И'д=

Qfc+i —Q?,-

 

 

sin 20,,+1 — sill 2 0 a. 3C21 — C22^j ■

 

Аналогично в вертикальной цилиндрической системе коорди­

нат получим:

gfc+l —ак

 

 

wxx= w ?x

 

 

sin 2 яа+1 — sin 2 а,, С9, — Сок

 

 

gfc+l ~

ак

'21— С22J I

 

IF УУ • : I F уу'Lsill 2 аА+1 — sin 2ак

 

 

^ = И7“

[С!2|;

 

(75)

W ^ W Z lC n U

Wgt=W^[Ca ]\

IF , = IF” [С22],

где вместо p и b при расчетах коэффициентов С21 и С22 фигурируют

1 и z, а

А А '-А + * 1) +

С ,

h Ui+i + уД-нА *3 W^’i+i + г'2

+' г2

(76)

23-

 

 

 

1пт

Таким образом, можно построить две палетки. В качестве основы для первой из иих возьмем двухмерную палетку, описан­ ную Д. Г. Успенским [4] и воспроизведенную на рис. 15. При ее построении использовано уравнение (66), где о=1.0 г/см3, р0=1.0 см, (W)2=1.0-10-9 СГС, а разность синусов двойных углов равна 0.1. Полученные радиусы используются для проведения концентрических колец двухмерной палетки и для вычисления

Pep. =Ti±ldliL _ Последние значения позволяют рассчитать попра­

вочные коэффициенты Съдля дискретных значений b, z. Совместив с двухмерной палеткой два семейства кривых поправочных коэф­ фициентов С21 и С22, вычисленных по формуле (73), получим уни­ версальную палетку для расчета следующих производных:

а

1)

по

вертикальным сечениям

тел — W ^,

Wer,

Wx.,

W±,

также

Wyy по формуле

(14): Wyy= —(W^+WJ)-,

 

 

а

2)

по

горизонтальным

сечениям

тел — W.cc,

W ,

W

, W\,

также

WIZ= —{Wxx+ W yy).

 

 

 

 

42

Аналогичным образом строится двухмерная палетка по фор­ муле (68). Положив в ней (И02=1.0-10“9 СГС, Z0= 1.0 см,

с= '1.0 г/см3 и разность синусов равной 0.1, рассчитаем значения радиусов концентрических колец и кривые поправочных коэф­ фициентов С23. Здесь при расчетах С23 использованы значения

радиусов Zcp= —1—■+1 и дискретные значения г.

Горизонт для Wxz

Рис. 15. Двухмерная палетка для вычисления вторых производных гравита­ ционного потенциала по вертикальным сечениям горизонтальных цилиндри­ ческих тел, по Д. Г. Успенскому [4].

Универсальные палетки изображены на рис. 16 и 17 (см. вкладку). Отличительной их особенностью является безразмерность и палеток, и контуров изображаемого тела (однако только при сохранении равенства горизонтальных и вертикальных мас­ штабов). Кроме того, при использовании первой палетки (рис. 16) необходимо корректировать величину коэффициента С21, умножая ее на множитель, содержащий частное от деления разности углов

4 3

на разность синусов двойных углов (формулы (74), (75)). Кор­ ректирующие множители для каждой пары смежных углов универ­ сальной палетки выписаны в ее нижней части. Знаки зон влияний

Wxx

К:

Wr

W

 

ги>.

Рис. 18. Схема наложения на геологический разрез двухмерной части универсальной палетки C2i, 22 и знаки зон влияний при вычислении ею аномалий Wxx, W zz, Wxz, W Aпо вертикальным се­

чениям тел (а) и палетки С23 при вычислении по ней аномалий и Wyz (6).

универсальных палеток для удобства использования сохранены

такими же, как и в двухмерных (рис. 18).

изображена

В том виде, в котором универсальная палетка

на рис. 16, она может быть применена для расчетов

Wzz и ТКд,

44

а также других производных в соответствии с табл. 5 и форму­ лами (74), (75). Развернув двухмерную палетку на 45°, мы сможем использовать ее при вычислениях Wx_по вертикальным сечениям тел, а также других производных в соответствии с теми же форму­ лами. При этом необходимо пользоваться прежними значениями коэффициентов С21 и С22 и множителей, равных частному от деле­ ния разности углов на разность синусов двойных углов (коэф­ фициенты А).

Другая универсальная палетка (рис. 17) применяется для рас­ чета Wx. по горизонтальным сечениям тел. Развернув ее на 90°,

мы можем использовать

 

палетку для вычисления W , а также

1

1

Wxg по вертикальным сечениям.

2-Wys и соответственно

 

Значения коэффициентов С21, С22 и С23 вычислены на ЭВМ. Для удобства построения кривых поправочных коэффициентов в верхней части универсальных палеток приводится линейный масштаб, принятый при конструировании диаграмм, хотя сами палетки, как это отмечалось выше, являются безразмерными.

Процесс работы с палетками, точность вычислений

Процесс работы с палетками для вычисления вторых производ­ ных гравитационного потенциала аналогичен вычислению первых производных и описан в литературе [1, 4, 38, 50 и др. ]. Допол­ нительным моментом здесь является только учет знаков зон влия­ ний различных палеток.

В случае применения универсальных палеток работа услож­ няется. Прежде всего, в пределах контура тела или части тела с одинаковой избыточной плотностью и постоянными размерами по простиранию или на глубину подсчитывается по двухмерной палетке число секториальных площадок в пределах каждого полу­ кольца или кольца концентрических окружностей отдельно. Для каждого кольца или полукольца снимаются также с номограмм значения коэффициентов С22 или С23. Дальнейший процесс работы в этом случае аналогичен процессу работы с универсальными палетками для вычисления первых производных гравитационного потенциала, но только с учетом знаков зон влияний двухмерной палетки. При использовании коэффициентов С21 необходимо до­ полнительно учитывать и множители, снимаемые с периферической части палетки и определяющие отношение разности углов к раз­ ности синусов двойных углов. В этом случае вычисления целе­ сообразно проводить в два приема. Первоначально для каждого кольца или полукольца двухмерной палетки снимаются с номо­ граммы соответствующие значения коэффициентов С21, а затем для

45

каждого сектора отдельно с учетом знаков зон влияний палетки суммируются полученные коэффициенты С21и умножаются на коэф­ фициент А сектора и на число площадок в секторе, находящихся в контуре тела (рис. 19). Дальнейшие операции определяются формулами (74) и (75). Вычисления далее повторяются для другой части тела, в другой точке плоскости и т. д. Окончательный резуль­ тат корректируется за отличие реальной плотности геологических тел от принятой при построении палеток.

Практика показывает, что при некоторой громоздкости вы­ числительных операций с использованием предложенных универ­

Рис. 19. Схема учета коэффициентов А , С21 и С22 при вычислении ано­ малии Wгг по вертикаль­

ному

сечению горизон­

тального

цилиндриче-

2 для Wzz

ского тела.

сальных палеток они отличаются от предложенных ранее способов по крайней мере двумя положительными сторонами: нагляд­ ностью поведения кривых поправочных коэффициентов и возмож­ ностью вычисления одновременно нескольких производных, как по вертикальным, так и по горизонтальным сечениям тел сложной формы. Как и в случае первых производных, процесс вычислений значительно упрощается, если постоянны избыточная плотность тела и размеры его по простиранию или на глубину. Если объект не симметричен относительно плоскости XOZ или его верхняя кромка располагается выше или ниже плоскости XOY, то при вы­ числениях необходимо воспользоваться формулами (39).

Точность расчетов аномалий вторых производных на теорети­ ческих моделях достигает (5-^10) • 10_9 СГС и может быть повышена за счет использования более дробных делений палетки, дополни­ тельных кривых поправочных коэффициентов и более детального расчленения тела на элементарные цилиндры. Примеры расчета

46

аномалий на теоретических моделях приведены на рис. 20. В реаль­ ной обстановке погрешность вычислений обуславливается прежде

Рис. 20. Примеры вычисления аномалии W ,, над шаром (о=

= 1.0 г/см3, Д = А = 1.0 км) универсальной палеткой C21i

,2 л анома­

лии Wхг над вертикальным круговым цилиндром

(о= 1.0 г/см3,

Л = г 1 = 1 .0 км, г ,= со) по палетке

См.

 

Аппроксимация шара горизонтальными коаксиальными прямыми цилин­ дрическими кольцами выполнена аналогично рис. 9, но только через 200 м. 1 — теоретические кривые; 2 — значения аномалий, полученные по универсальным палеткам.

всего схематичностью принятых при интерпретации моделей гео­ логических разрезов, а также сложным законом распределения плотности горных пород.

Г л а в а У

ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕТЬИХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА

ОТ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Третьи производные гравитационного потенциала в настоящее время инструментально не определяются. Однако в целях разде­ ления аномалий широко применяются различные способы транс­ формации карт аномалий силы тяжести в карты третьих верти­ кальных производных потенциала [27, 42, 49, 51—55, 56 и др.]. Кроме того, вопросам использования в гравиразведке производ­ ной W^ посвящена статья К. Ф. Тяпкина [57], производной W'Х23 — статья П. И. Лукавченко [58]. А. А. Юньков [59] иссле­ довал производные W^ и IT.... В монографии И. А. Балабуше-

47

Смотрите также файлы