Файл: Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы).pdf

вича [5] рассмотрены уже практически все третьи производные гравитационного потенциала и даны решения прямой задачи для тел правильной геометрической формы. Одновременно с исследо­ ваниями свойств различных производных и анализом формул преобразования карт аномалий силы тяжести в карты высших производных широко проводилось практическое опробование их в разных геологических условиях, а также в магнитометрии и электрометрии [41, 42, 46—49, 53, 54, 58, 60—65 и др.]. Соот­ ветственно предложены двухмерные палетки для вычисления ано­ малий некоторых третьих производных [59, 66—69]. Палетки в основном используются для вычисления W,£, и Wxxx согласно уравнениям (12). Однако они могут быть также использованы и для вычисления Wrrr и Wxrs, что следует из анализа этих выражений в горизонтальной цилиндрической системе координат, если палеткп развернуть на 30°. Аналогичным образом они могут быть применены и при вычислениях аномалий W ^ , PF , W и W

по горизонтальным сечениям тел при использовании вертикальной цплпндрической системы координат (формула (13)).

Для тел сложной формы, ограниченных по простиранию или на глубину, даже наборов плоских палеток, насколько известно автору, не построено. По-видимому, это обстоятельство следует связывать с широко распространенным мнением о незначительном влиянии конечных размеров тел на аномалии от двухмерных объек­ тов. Поиски конструкции универсальной палетки для вычисления третьих производных гравитационного потенциала от тел слож­ ной формы по их горизонтальным н вертикальным сечениям по­ ведем теми же путями, что и при рассмотрении производных низ­ шего порядка.

Вывод рабочих формул

Выполним интегрирования (12) и (13):

®А-+1 P»+i ь

48

(77), (79), (81) и (83) аналогичны некоторым формулам в верти­ кальной цилиндрической системе координат, отличаясь от них сомножителем 2. Поэтому можно построить универсальную, па­ летку для вычисления третьих производных и по горизонтальным,

z —> со обращаются в нули. Для них возможно построение набора палеток по схеме, рассмотренной во второй главе.

Расчет палеток и номограмм

Перепишем полученные выражения:

В качестве основы для вычисления параметров двухмерной

ляя эти значения, получим, что разность обратных величии двух смежных радиусов концентрических колец (или полуколец) палетки будет постоянной и равной 1/17.78666... Принимая р0=0.5 км, построим двухмерную палетку. Значения коэффициен­

тов 6’31 и С32 рассчитаем для средних радиусов pcp = J2_lL£i±l ц ди­

скретных Ь. Вычисления С31 и С32 выполнены на ЭВМ. Универсальная палетка для вычисления третьих производных

гравитационного потенциала от тел сложной формы по их гори­ зонтальным и вертикальным. сечениям приведена на рис. 21 (см. вкладку). Она во многом сходна с универсальной палеткой для вычисления вторых производных. Отличительной особен­ ностью ее является масштабность, а также другие знаки зон влия­ ний двухмерной диаграммы.

Размерность палетки определим из выражений для производ­ ных от тел конечного или бесконечного простирания (79) или (80). Подставляя в эти формулы вместо р и b значения ?гр и nb, получим, что увеличение или уменьшение масштаба в несколько раз при­ водит к соответственному уменьшению или увеличению цены деле­ ния палетки во столько же раз.

Знаки зон влияний двухмерной палетки определяются знаками косинусов и синусов тройных углов и приведены на рис. 22. Кроме того, в периферической части палетки выписаны амплитуды множителей, стоящих в формулах (85) перед коэффициентом С32 и равных частному от деления разности кубов двух смежных секториальных углов палетки на разность синусов или косинусов тройных углов (коэффициенты В). Эти множители определяют из­ менение коэффициентов Сзг в каждом секторе универсальной палетки.

50

в два раза. Если же двухмерную палетку развернуть на 30°, то она может служить для вычислений И7„,с и WX!rt по вертикальным се­ чениям тел и Wxa и Wxy по горизонтальным. Во втором случае

результат вычислений также необходимо уменьшать в два раза.

2 2

Рис.. 22. Схема наложения на геологический разрез и знаки зон влияний

Поскольку универсальная палетка является масштабной, то в верх­ ней ее части приведен линейный масштаб. Цена деления бекториальных площадок равна 10 • 10~15СГС, однако в первых пяти зонах, ближайших к центру, она увеличена до 50-10 “13 СГС.

Как уже отмечалось выше, многие интегралы в горизонтальной и вертикальной цилиндрических системах координат обращаются в нули при симметрии тел относительно плоскости XOZ или

случаи, когда вычисление этих производных является полезным; Можно рекомендовать построение наборов плоских палеток или универсальных палеток по схеме, описанной в настоящей работе..;