Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

Скачать файл (15,00Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 113

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Особенностью такой аппроксимации является гот факт, что с чис лом участков аппроксимации связана и крутизна реализуемой устройством функции. Действительно, ни одно из уравнений системы (3.28) не может превзойти по абсолютной величине значе ния 2k~l~1.

Таким образом, при рассматриваемом подходе к воспроизведе нию функций определяющим для выбора s является наибольшее значение производной функции ф (А). Если ф (А) воспроизводится

в ФПКВ	с масштабом 2~1, то
	[ф (Л )]'2-*^2‘ -,-\
откуда
	[ф(А)]'£2-* =	в.	(3.29)
Возвращаясь теперь к рис. 46 и комментариям к нему, обнару
жим, что	устройство, изображенное	здесь, может быть	суще

ственно упрощено. В частности, если удастся аппроксимировать функцию ф (А) двумя отрезками, то для построения ФПКВ потре буется лишь один входной ЛПКВ /7Х, который генерирует после довательность с математическим ожиданием р х. На все остальные случайные входы схемы сравнения подаются последовательности с р (1) = 0,5. Если требуется четыре участка аппроксимации, то нужно добавить еще один ЛПКВ, при восьми участках в схеме уже будет три преобразователя с р (1) =£= 0,5 и т. д.

Определение значений p t при большом s вызывает затруднения, так как оно производится методом последовательных приближе ний. На практике это часто осуществляется путем графического построения. Аппроксимирующая кривая изображается на листе миллиметровой бумаги размером не менее 0,5 х 0,5 м, при этом графическая ошибка в 0,5 мм составляет 0,1% . Задаются некото рой величиной 8Д0П. Из соотношения (3.29) определяют sh предель

ный наклон	первого участка 2к~1~1. Задаваясь значениями
р х, р 2, . .	Pk-х {к не более 3—4), определяют наклон первого

участка и из начала рабочего интервала аппроксимации проводят секущую до пересечения с вертикалью s = 1, ордината которой равна qxq2. . . qk-x• При этом отклонение прямой от аппроксими рующей функции не должно превышать 8Д0П.

Используя точку пересечения в качестве исходной, строим следующий участок ломаной с наклоном ф1д2- ••P k-x• Этот про цесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут конец рабочего интервала. Если в ходе процесса ошибка аппроксимации превысит едоп, то следует вернуться к началу, изменить значения переменных р х, р 2, . . ., p k - х и повторить указанную процедуру снова.

Очень важна предварительная оценка области допустимых

значений вероятностей р ь. Эти оценки, по крайней мере,	могут
быть даны для аппроксимирующих функций, у которых	узлы

107

аппроксимации образуют монотонные функции дискретного аргумента.

1.Условие монотонности функции при аппроксимации двумя

отрезками. В этом случае система (3.28) приводится к виду

=Рг21~1 = Р,;

отсюда условие выпуклости функции: q i > p 1 или р г > 0 ,5 . При р х < 0,5 реализуется модель вогнутой функции.

p(z)

Рис. 48. Аппроксимация функции ф (А)2~г (— ) четырьмя отрез ками:

----------V t	=	0,2; р2 =	0 , 3 ; -------------— р,	= 0,3;	р2 =	0 , 4 ;	------------------- р,	=
= 0,1; Р2	=	0 , 2 ; --------------------	р, = 0,05;	р2 =	0,15;	р (г)	- выходная	ве
			роятность ФПКВ

2. Условие монотонности функции при аппроксимации че тырьмя отрезками. Учитывая (3.28), получим^

9i?a22 1= Pi, P\Q2^2 1= Ра,

qiPt%** = р 2, P iP i^ 4 = p i.

Пользуясь аналогичным методом, получим следующие соотноше ния: р г ^ 0,5 (знак > определяет вогнутость и знак < — выпук лость функции).

108

Для случая к — 1 переменных условия вогнутости (выпук лости) получаем в следующем виде [75]:

i - i

П р / + П 9/

/'=1 1=1

С соблюдением этих условий на рис. 48 показан процесс при ближения аппроксимирующей ломаной линии к исходной функции Ф (А) при четырех участках аппроксимации.

15. Стохастические кусочно-линейные аппроксиматоры

Метод кусочно-линейной аппроксимации функций заключается в представлении воспроизводимой функции Ф (А) отрезками пря мых линий. Основной задачей кусочно-линейной аппроксимации является определение такой длины шага аппроксимации, чтобы

Рис. 49. Два способа кусочно-линейной аппроксимации функции Ф (А)

разность между функцией Ф {А) и аппроксимирующей кусочно линейной функцией ф (А) не превышала наперед заданной по грешности. При этом желательно иметь величину шага максималь ной, а число шагов минимальным, что позволяет упростить струк туру функционального преобразователя.

Известны два основных способа практической реализации ку сочно-линейной аппроксимации [10].

1. Допустим, необходимо аппроксимировать функцию Ф (А) кусочно-линейной функцией ф (А ) с погрешностью не более ±8. Тогда ломаная линия ф (А) должна располагаться между кривыми Фх (И) = Ф (И) -f в и Фа (И) = Ф (И) — е. С целью минимизации

количества участков	аппроксимации отрезки прямых получают
в виде касательных	к одной из функций Фг (А) или Ф2 (А)

(рис. 49, а). Выбор величины шага аппроксимации производится из условия обеспечения требуемой точности аппроксимации.

109

При линейной интерполяции погрешность метода аппроксима ции определяется величиной остаточного члена R (А) в интерполя ционной формуле Ньютона [55]

R (А) = ^

(.А - At) (А - А1+1),

(3.30)

где Ф" (Q — вторая производная функции Ф (А) в точке с абсцис сой Ai <; £ A l+ ц где погрешность наибольшая; A t, A i + 1 — начало и конец шага аппроксимации hi. Обозначив

получим А — А { = уhi и А — A i + 1 = А — A t — hi = ht (у — 1).

Тогда формула (3.30) примет вид

Я ( Л ) = - ^ Л ? у ( у - 1 ) .

Так как при интерполяции 0 <( у <[ 1 и при этих значениях у

имеет место неравенство у (у — 1) ^

, то

т. е. абсолютная ошибка линейной интерполяции не превосходит

Vs абсолютной величины второй разности.
Так	как необходимо, чтобы погрешность		аппроксимации		е
не превышала R С<4)тах, то величина шага, при котором это				усло
вие выполняется, будет
	К	8в
		Ф'(£) I»

2.	Вспомогательные функции теперь		представим	в	виде
Фг (Л)	= Ф (А ) + 2е и Ф2 (А) = Ф (А) — 2е (рис. 49, б). В этом
случае максимальная погрешность аппроксимации равна 2е,				а шаг

аппроксимации увеличивается в ]/2 раз, т. е.

hi — 4

Ф'(£)1

На рисунке показан способ построения приближающей функции Ф (Л), при которой ошибка не превышает 8.

Уравнение для каждого отрезка аппроксимирующей линии Ф (^4) можно записать в виде

ф(Л) = ф/+ А/4 ,

(3.31)

где фг и ki — соответственно свободный член и коэффициент наклона аппроксимирующего отрезка, являющиеся постоянными величинами в пределах шага аппроксимации.

110

В более удобном для моделирования виде уравнение (3.31) можно записать так

Ф (А) = Ф (А;) + [Ф (Ам ) - ср (А,)] ~ЛА~ А‘ ,		(3 .3 2 )
где ф (A t), ф {Ai +j) — значения функции на	границах	участка
аппроксимации; А — текущее значение кода.
Аппроксимация исходной функции может	быть произведена

с равномерным и переменным шагом. Метод разбиения по аргу-

Код функции

Рис. 50. Стохастический кусочно-линейный аппроксиматор:

П З У — постоянное запоминающее устройство; СС — схема сравнения; ГСЧ — генератор случайных чисел

менту в основном определяет сложность детерминированной части ФПКВ. Она получается наиболее простой в случае равномерного разбиения по А , когда ht = 2~s = const.

Разделим преобразуемое число А = 0, a lf а 2. . ,at на две части а 1а 2- • •as as+1- ■-at по s и i—s разрядов в каждой из них. Пусть

S	I	— S	номер участка		аппроксимации,
первые	s разрядов определяют
для которого		в П ЗУ хранится	начальное	значение функции и
коэффициент		наклона. Тогда остальные I		— s	разрядов исполь