Файл: Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины.pdf

Перемножая двучлены в правой части и вынося постоянные коэф­ фициенты за знак математического ожидания, получаем

Кху (хху) = М ( x x jy ) - М (х) [М (хуу) + М (ххуу)] —

—М (у) [М (xxjy) + М (ххху)\ + М (х )М (у) [М (ху) + М (хху) +

К ху (хху) - М (хххуу ) — М (х) (Кху (ту) + К у (хху)\ —

—М (у) [КХу (хх) + К х (хХу)] — М (х)М (у) [М (ху) + М (хху) +

+М (ху) + М (хху)\ — М 2 (х) М (уу ) —

3 4

Рис. 17. Схема образования взаимносмешанных моментов третьего порядка

Подставляя (2.7) и (2.16) в формулу (2.8), находим выражение автокорреляционной функции на выходе конъюнктора в общем виде]

к г (т2) — К ху (тху) + М (х) [К ху (ту) + К у (тху)] + + М (у) \Кху (т,) + Кх (т,„)] + М (х) М (у) [Ку (т,) + к х (т,)1 +

Можно таким же способом убедиться в том, что для независи­ мых х т у

Ку {Хху) — К х (ХХу) = К Ху (Гд) — К Ху (Ху) = К х (ту) — К у (Тд) = К Ху = 0.

К г (тг) = К х (т,) Ку (ху)+М * (х) К у (ху) + М2 (у) К х (хх). (2.21)

Рассмотрим также случай, когда во входных последователь­ ностях отсутствует автокорреляция. При этом по формуле полной вероятности находим

Подставим последнее выражение в первое уравнение системы (2.12) и после преобразования правой части получим:

Воспользуемся аналогичным приемом для определения вза­ имносмешанного момента четвертого порядка

М (ааую,) = Р (xxpjyj = р (х )Р (ххуух|х) =

м(ху) М (xzy) М (xyz) М (ххух)

М* (х) М * (у)

1М ( х ) М М + Кху}* [М (х) М (у ) + К х (Ху)] [М (х) М ( у ) + К у (хх)]

М а (я) М * (у)

•36

Подставляя (2.22) и (2.23) в (2.17), находим выражение авто­ корреляционной функции на выходе конъюнктора при стаци­ онарно связанных последовательностях Бернулли на его входах

Что касается математического ожидания выходной последова­ тельности, то оно в этом случае определяется общим выражением

Если же выполняются оба рассмотренных ограничения, что имеет место при независимых последовательностях Бернулли на вхо­ дах, то, как можно видеть из формул (2.20), (2.21) и (2.24), конъюнктор реализует функцию умножения стохастических перемен­ ных, а корреляция в выходной последовательности отсутствует.

Дизъюнкция: z = х \/ у. По формуле вероятности объединения событий имеем:

М (z) = Р (х V У) = р (х) + Р (у)—Р(ху) =

М (zzx) = Р (zzx) = Р [(х V У) (ххV Ух)\ = Р (хххV хутV X 1JV уух) = = Р (xxx) + Р (ху,) + Р (хху) + Р (уух) - Р \(ххх) (ху,)] —

— Р ](ххх) (хху)] — Р [(sag (уух)\- Р [(хух) (хху)\ —Р ](хух) (уух)\ —

- р \{хху) (УУХ)] + Р [(ххх) (хух) (хху)1 + Р [(ххх) (ху,) (уух)\+

+ Р [(ххх) (хху) (уух)\+ Р [(ху.) (хху) (уух)] —Р[(ххх) (хух) (хху) (уух)\.

Исключая тавтологию под знаком вероятностей и приводя подоб­ ные члены, получаем

М (zzx) = Р (хх,) + Р (ху,) + Р (хху) + Р (уух) — Р (хххух) —

— Р (ххху) - Р (хуух) — Р (Хху у х) + Р (хххуух).

37

Для дальнейших преобразований воспользуемся формулами (2.12)

и (2.13):

М (zzt) = АР (х) + К х (хх) + 2М (х) М (у) + К х (ху) + К у (хх) ■;

- 2М (х) М 2 (у) + АР (х) АР (у) + АР (х) К у (ху) + М 2 (у) К х (хх) + + К ху (тху) + М (х)М (у) [К у (хх) + К х (ху) + 2К ху] +

+ М (х) [Кху (ту) + К у (тху)\+ М (у) [Кху (хх) + К х (тху)\.

Из обеих частей последнего равенства вычтем М г (z). В резуль­ тате получим выражение автокорреляционной функции на выходе дизъюнктора в общем виде

К 2(х2) = Кху (тху) + [1 - М (у)\2 К х (тД + (1 - М (х)\2 К у (ху) + + [1 -М (х )\ Ц - М (у)] \КХ(ту) + К и (хх)\ -

Справедливость последней формулы можно доказать, подставляя

(2.22) и (2.23) в (2.27). _

Альтернатива: z = ху V ХУ■ Поскольку в данном случае логи­ ческая функция предполагает выбор одного из несовместных исходов, то математическое ожидание выходной последователь­ ности определяется следующей зависимостью:

M(z) = P (ху \J ху) = Р (ху) + Р (ху).

3 8