Файл: Теория стрельбы из танков учебник..pdf

■явление данного события. Показателем того, что все гипотезы учтены, является равенство

S

Рх + Р, + . . . + P S = V , P , = 1.

где s — число всех гипотез.

В общем случае формула полной вероятности события может ■быть записана в таком виде

б ыт и я р а в н а с у м м е п а р н ы х п р о и з в е д е н и й ве­ р о я т н о с т е й г и п о т е з на у с л о в н ы е в е р о я т н о с т и с о б ы т и я по э т им г и п о т е з а м .

Теорема гипотез

Исследуя условия, в которых может появиться интересующее нас событие, можно сделать ряд предположений или гипотез, опре­ делить их вероятности и рассчитать вероятности события по этим гипотезам. Так, например, вследствие наличия ошибок подготовки

•стрельбы до выстрела можно предположить, что средняя траекто­ рия пройдет по дальности перед целью, через цель или за целью. Каждой из этих гипотез отвечает своя вероятность.

Допустим, что при первом выстреле наблюдался недолет. По­ лученный результат уточнил представления о положении центра рассеивания снарядов (ЦРС) относительно цели. Уменьшилась вероятность нахождения средней траектории за целью. Более ве­ роятной стала гипотеза, что ЦРС находится перед целью. На осно­ ве этого, применяя теорему гипотез, можно определить, как изме­ нились вероятности нахождения ЦРС относительно цели после не­ долета.

Таким образом, к определению вероятностей по теореме гипо­ тез прибегают тогда, когда по существу вопроса о появлении собы­ тия можно сделать несколько различных предположений и вероят­ ности этих предположений меняются в зависимости от результатов проведенных испытаний.

Формула теоремы гипотез в общем виде записывается следую­ щим образом

(1.35)

или

€0

где Qi — вероятность г-той гипотезы после испытания; Pt — вероятность г-той гипотезы до испытания;

Pi — вероятность события по данной гипотезе; s — число всех возможных гипотез.

Теорема гипотез формулируется следующим образом: в е р о я т ­

т а н и я на в е р о я т н о с т ь с о б ы т и я по д а н н о й г и п о ­ т е з е , д е л е н н о м у на п о л н у ю в е р о я т н о с т ь э т о г о с обыт ия .

Пример. Экипаж танка готовится к стрельбе по цели, располо­ женной на дальности 1800 м. Вследствие ошибок подготовки мо­ жет быть назначена одна из следующих установок прицела: 16, 18 или 20. Допустим, что вероятности назначения каждой из указан­ ных установок составляют Р\ъ = 0,5; Р\ъ = 0,3 и Р%а = 0,2.

Известно также, что вероятности попадания в цель на каждой из этих установок прицела соответственно равны рш = 0,3; р\ъ — 0,7 и рго = 0,4. Пусть будет произведен выстрел и получено попадание в цель. Какова вероятность того, что выстрел произведен с уста­ новкой прицела 18?

Решение. По формуле (1.35) определяем

п— Р ,8^ 1 8 _________

ЧГ18

Р1бРы “Ь Р l$PlS~\~ P ‘10 Ръо

0,3-0,7

= 0,48.

0,5-0,3 + 0,3-0,7+0,2-0,4

Из примера видно, что полученный результат стрельбы уточнил наши гипотезы: до опыта (выстрела) P\s = 0,3, а стала после опы­ та Qi8=>0,48. Соответственно изменились вероятности и других

составить распределение вероятностей, из анализа которого мож­

ис п ы т а н и й

Втеории вероятностей совокупности событий, полученные при повторении испытаний, принято называть вариантами и комбина­ циями.

Вариантом (последовательностью) называют совокупность со­ бытий, появляющихся в строго определенной очередности. Так, на­ пример, при двух выстрелах возможны следующие четыре вариан­ та сложных событий: попадание, попадание; попадание, промах; промах, попадание; промах, промах.

61

ность расчета вероятностей комбинаций рассмотрим на примере. Пусть при одном выстреле вероятность попадания в цель равна р, а вероятность промаха — q (при этом р + q — 1, как сумма веро­

ятностей противоположных событий). Если значения р и q неиз­ менны, то при трех выстрелах возможны варианты и комбинации,

Из рассмотренного примера видно, что сумма вероятностей всех возможных комбинаций представляет собой сумму членов раз­ ложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний.

62

В общем случае при двух противоположных событиях и при 5-кратном повторении испытаний получаем:

—число вариантов, равным 2s ;

—число комбинаций, равным 5 + 1 ;

—вероятность каждой комбинации равна соответствующему

члену разложения бинома Ньютона.

Известно, что любой член разложения бинома, а следовательно,

Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,7 и остается постояннойпри каждом выстреле. Определить вероятности воз­ можных комбинаций попаданий и промахов при четырех выстре­ лах.

Решение. 1. Определяем q = 1 — р — 1 — 0,7 = 0,3. 2. Применяя формулу (1.36), получаем

= 0,74+ 4 • 0,73 • 0,3+ 6 • 0,7* • 0,32+ 4 ■0,7 • 0,3*+0,3* =

=0,2401 +0,4116+0,2646+0,0756+0,0081 = 1,0.

Из решенного примера видно, что в данных условиях может по­ лучиться пять комбинаций: первая — четыре попадания, вероят­ ность ее равна 0,2401; вторая — три попадания и один промах (в четырех вариантах), вероятность ее — 0,4116; третья — два попада­ ния и два промаха (в шести вариантах), вероятность ее — 0,2646; четвертая — одно попадание и три промаха (в четырех вариантах), вероятность ее — 0,0756; пятая — четыре промаха, вероятность ее —

63