Файл: Теория стрельбы из танков учебник..pdf

При практических расчетах обычно весь диапазон изменения случайной величины непрерывного типа разбивают на ряд равных интервалов и для каждого отдельного интервала (отрезка на ос» абсцисс) находят абсциссу, отвечающую середине интервала. Обозначив абсциссы середин отрезков через хи х2, х3 ... xs, па формуле (1.42) соответственно рассчитывают значения вероятно­ стей ри ръ рз ... ps.

Совокупность полученных таким образом значений x t и соот­ ветствующих им вероятностей pt представляет собой распределе­ ние непрерывной случайной величины. Это распределение так же,

как и распределение прерывной случайной величины, может быть представлено в форме таблицы или в форме графика.

Такое распределение до некоторой степени условно отражает закон распределения случайной величины непрерывного типа, так

2. С р е д н е е з н а ч е н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы

Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Однако использование в практике та­ кой характеристики затруднительно и, кроме того, в большинстве практических задач нет необходимости определять случайную ве­ личину полностью. Часто бывает достаточно знать только отдель­ ные ее числовые характеристики, которые отражают основные су­ щественные черты закона распределения случайной величины. Наиболее распространенной в практике числовой характеристикой случайной величины является ее среднее значение из опыта.

Так, например, при стрельбе по цели в определенных условиях на каждые 3 выстрела в среднем получено 2 попадания; средний

ны, полученных из опыта.

70

Из формулы (1.43) видно, что среднее значение случайной ве­ личины, полученное из опыта, равно сумме произведений частных значений этой величины на соответствующие им частоты.

При расчетах по формуле (1.43) обязательным условием полу­ чения правильного ответа должно быть равенство

При небольшом числе опытов, когда частные значения случай­ ной величины не повторяются, формула (1.43) принимает вид

Пример. При четырехкратном измерении дальности дальноме­ ром получены результаты: 1500 м, 1480 м, 1520 м, 1540 м. Опреде­ лить среднее значение дальности до дели.

Решение.

Таким образом, в частном случае среднее значение случайной величины равно среднему арифметическому из ее частных значе­ ний, полученных из опыта.

3. М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы

Ранее установлено, что при большом числе испытаний частота события стремится к вероятности и можно допустить, что rt = p t.

Учитывая это положение, в формуле (1.43) для определения среднего значения случайной величины заменим частоты на соот­ ветствующие им вероятности появления частных значений случай-

71

ной величины. В результате получим среднее ожидаемое значение,

или математическое ожидание случайной величины

Обязательное условие для правильного определения М(х) по фор­

в е л и ч и н ы н а з ы в а е т с я с у м м а п р о и з в е д е н и й ч а ­ с т н ы х з н а ч е н и й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы на о т в е ­ ч а ю щи е им в е р о я т н о с т и .

Математическое ожидание при проведении опытов проявляется в виде среднего значения случайной величины. При увеличении числа испытаний среднее значение стремится к математическому ожиданию как к своему пределу.

Математическое ожидание так же, как и среднее значение, вы­ ражается всегда именованным числом, которое может быть целым или дробным, положительным или отрицательным.

В отличие от среднего значения, получающегося только по ре­ зультатам опыта, математическое ожидание может быть опреде­ лено до опыта на основе известного заранее распределения случай­ ной величины.

Рассмотрим на примере порядок определения математического ожидания.

Пример. Для выполнения упражнения каждому стреляющему отпускаются по три снаряда. По результатам наблюдения стрельба прекращается после получения попадания в цель. Определить ма­ тематическое ожидание расхода снарядов на одну стрельбу, если по опыту предыдущих стрельб известно, что вероятность выполне­

Ni — l, N2 = 2 и Nз = 3. Однако воспользоваться формулой (1.45)

S

пока нельзя, так как не выполняется условие S p / == 1. 1

Для выполнения этого условия необходимо учесть еще стрель­ бы, в которых также будет израсходовано по 3 снаряда, но не бу­ дет получено попаданий. Вероятность этого

А = 1 ~ ( А + А + А )= 1 ~ (0,25 + 0,35+0,20) = 0,20.

72

Обозначим математическое ожидание расхода снарядов M(N) и определим его по формуле (1.45)

= 1 -0,25+2-0,35 + 3 (0,20+0,20) =

=0,25 + 0,70 + 1,20=2,15 снаряда.

Это означает, что при проведении большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем на одну стрельбу будет израсхо­ довано 2,15 снаряда.

4. Ч а с т н ы й с л у ч а й м а т е м а т и ч е с к о г о

ож и д а н и я с л у ч а й н о й . в е л и ч и н ы

Вчастном случае, когда случайная величина при одном испы­ тании может принимать только одно из двух значений, а именно 1 или 0, математическое ожидание численно будет равно вероятно­ сти появления случайной величины.

С таким случаем в теории стрельбы встречаются при определе­ нии математического ожидания числа попаданий на один выстрел.

«2 = 0. Обозначив математическое ожидание числа попаданий че­ рез М(т), вероятность получения попадания при выстреле через р, а вероятность промаха через q и подставив эти значения в фор­ мулу (1.45), получим

М (т) = «,/?! + = 1p-\-0q=p. (1-46)

Из равенства (1.46) видно, что математическое ожидание чис­ ла попаданий при одном выстреле численно равно вероятности по­ падания при этом выстреле.

§4. Ошибки измерений и законы их распределения

1.О б щи е п о л о ж е н и я

Впрактике стрельбы постоянно приходится производить изме­ рения расстояний, углов, отклонений разрывов и т. д. Объективно каждая измеряемая величина имеет свое точное значение, назы­

ваемое истинным значением измеряемой величины. Это истинное значение, как правило, остается неизвестным. Поэтому принимают за истинное значение измеряемой величины отдельный результат измерения или среднюю величину, полученную из ряда измерений. При любых измерениях неизбежны ошибки. В этом легко убедить­ ся, повторив измерение какой-нибудь величины несколько раз или сравнив между собой результаты измерения одной и той же вели­ чины несколькими людьми. При таких опытах результаты отдель-

73

ных измерений проявляются как частные значения случайной ве­ личины, а различные их значения обусловлены ошибками.

Р а з н о с т ь м е ж д у р е з у л ь т а т о м о т д е л ь н о г о из ­

Например, наводчик глазомерным способом определил даль­ ность до дели 1400 м, а истинная дальность равна 1500 м. В этом случае ошибка измерения будет 8j = Х \ — Хо = 1400—1500 = = — 100 м.

Причины, порождающие ошибки, называют источниками оши­ бок. Основными источниками ошибок являются:

—неточность измерительных приборов (неточность шкал, мертвые ходы, эксцентриситет и др.);

—несовершенство наших органов чувств и в первую очередь зрения (при глазомерном определении величин, при снятии от­ счетов, при визировании и т. п.) ;

—непостоянство условий, в которых производятся измерения (колебание температуры, плотности и скорости перемещения воз­

духа, различная степень освещенности и т. д.).

Каждый из источников порождает свою элементарную ошибку. Сумма всех элементарных ошибок в конечном счете дает общую ошибку данного результата измерения.

По месту возникновения (по принадлежности) ошибки разде­ ляются на линейные ошибки и ошибки-векторы.

Ошибки измерений, направление которых совпадает с направ­ лением измеряемой величины, называются линейными ошибками. К ним принадлежат, например, ошибки измерения расстояний. Кроме того, к линейным ошибкам относятся ошибки определения времени, давления, плотности, температуры, веса, т. е. таких вели­ чин, которые не имеют направления в пространстве или имеют строго определенное направление, учитываемое приемами измерений. Линейные ошибки характеризуются величиной и зна­ ком. Ошибки, направленные в большую сторону, — положительны,

74