ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 162
Скачиваний: 0
Сложными называют такие события, которые состоят из одно временного или последовательного появления двух или несколь ких простых событий. Так, например, если при каждом выстреле выделять только два простых события: попадание и промах, то при двух выстрелах сложными событиями будут: два попадания; про мах и попадание; два промаха.
3. Ч а с т о т а с о б ыт и я
В практике испытаний неизбежно возникает вопрос, как часто появляется то или иное событие. Так, например, при проведении стрельб из танков важно знать, как часто были получены попада ния в цель, как часто была выполнена огневая задача и др. Во всех таких случаях результаты повторяющихся опытов могут быть оце нены частотой случайного события.
Ч а с т о т о й |
с л у ч а й н о г о |
с о б ы т и я |
н а з ы в а е т с я |
||
о т н о ш е н и е ч и с л а п о я в л е н и й |
э т о г о |
с о б ы т и я к |
|||
ч и с л у в с е х |
п р о и з в е д е н н ы х |
|
опыт ов . |
|
|
Частоту события определяют по формуле |
|
||||
|
г |
М_ |
|
|
(1.28) |
|
|
|
|
N ’
где г — частота события; М — число появлений этого события;
N — число произведенных опытов.
Пример. При стрельбе по цели на одних и'тех же установках было произведено 10 выстрелов и получено 5 попаданий. Опреде лить частоту попаданий в цель.
Решение. В данном случае М == 5, а N = 10. Следовательно,
= J L
г~ 10 ‘
Свойства частоты
1. С изменением числа опытов частота события, как правило, из меняется.
Допустим, что было произведено 10 выстрелов и получено 5 по
паданий в цель. Частота попадания в цель г = ----. Если в этих
10
условиях произведен еще один выстрел и получен промах, то при
5 11 выстрелах частота будет г = - у , т. е. уменьшится. Если бы
было получено при одиннадцатом выстреле попадание в цель, то
частота стала бы г = — , т. е. больше, чем — .
50
Учитывая это свойство, нецелесообразно применять сокраще
ние дроби, полученной при расчете |
частоты. Например, нежела- |
|
* |
5 |
1 |
тельно в нашем примере дробь |
|
сокращать до -у—, так как |
при этом теряется количественная сторона результата проведен ных опытов и становится неясным, на основе какого числа стрельб была получена данная частота.
2. При достаточно большом числе испытаний частота изменяет ся незначительно. Такими изменениями можно пренебречь и сле дует считать при большом числе опытов частоту постоянной.
Анализ результатов опытов показывает, что частота имеет рез кие колебания только при малом числе испытаний. С увеличением числа опытов частота становится устойчивой. Это свойство устой чивости частоты при массовых испытаниях является важнейшей закономерностью случайного события и используется в практике для прогнозирования результатов предстоящих опытов (стрельб).. Так, например, если при опытных стрельбах на каждые 100 выст релов по цели получено по 25 попаданий, то можно полагать, что в будущем при стрельбе в подобных условиях на каждые четыре выстрела в среднем будет получено одно попадание в цель.
3. Частота как отношение двух чисел, имеющих одинаковое наи менование, есть число отвлеченное. Частота события может быть выражена любым положительным числом в пределах от 0 до 1, или в процентах от 0 до 100%.
Допустим, что при N испытаниях интересующее нас событие
не появилось, то М = 0 и г = ---- = 0 . Это — наименьшее возАГ
можное значение частоты. В случае появления интересующего нас
события при каждом испытании получим M = N и |
г = |
=1. |
|
Это — наибольшее значение частоты. Таким |
образом, |
0 < г < 1 . |
|
Если связь между полученной частотой |
и числом |
произведен |
|
ных опытов утеряна (или этой связью пренебрегают), |
то величину |
частоты выражают в процентах. Например, частоту 0,3 можно за писать как г = 30%.
4. В е р о я т н о с т ь с о б ыт и я
Повседневная практика показывает, что в результате испыта ния (опыта) могут появляться различные события. Любое событие является следствием одной, двух или нескольких причин. Незави симо от того, случайно или не случайно данное событие оно всегда причинно.
Изучение условий возникновения различных событий и наблю дения за их частотой позволили выявить закономерность случай ных событий. А теоретические исследования в этом направлении
4* 51
дали возможность заключить, что закономерность появления слу
чайных событий может быть выражена числом — вероятностью со бытия.
Таким образом, понятие вероятности возникло и применяется при теоретических исследованиях.
В повседневной практике под вероятностью события понимают число, характеризующее величину объективной возможности на ступления события в данных условиях. Однако более точно и стро го определение вероятности можно сформулировать так: в е р о я т нос т ь к а к о г о - л и б о с о б ы т и я — это ч и с л о в а я ха р а к т е р и с т и к а с т е п е н и в о з м о ж н о с т и п о я в л е н и я д а н н о г о с о б ы т и я в о п р е д е л е н н ы х у с л о в и я х , т. е. к о л и ч е с т в е н н а я х а р а к т е р и с т и к а о б ъ е к т и в н о с у щ е с т в у ю щ е й с в я з и м е ж д у э т и м и у с л о в и я м и и с обыт ие м.
Вероятность события А обозначают символом Р , .
Если рассматриваются вероятности одного и того же события в различных условиях, т<э для обозначения их ставятся дополнитель но индексы 1, 2, 3 и т. д. Например, вероятность попадания в цель при первом, втором и дальнейших выстрелах соответственно обоз
начают: Р ци Рц?, Рц3 и т. д. |
собы |
|
Принято считать |
вероятность появления достоверного |
|
тия равной единице, |
а вероятность невозможного события |
равной |
нулю. Учитывая это, вероятности случайных событий характеризу ются положительным числом в пределах от нуля до единицы.
Свойства вероятности
1. Вероятность, как и частота, есть величина отвлеченная. Она
выражается положительным числом в пределах от 0 |
до 1 или в |
||
процентах от 0 до 100%- |
постоянная, |
объективно |
|
2. Вероятность |
события — величина |
||
присущая данным |
условиям проведения |
опытов (стрельб). |
3. Вероятность события в отличие от частоты может быть опре делена до опыта различными способами.
5. С о о т н о ш е н и е м е ж д у в е р о я т н о с т ь ю и ч а с т о т о й с о б ыт и я
Между вероятностью и частотой события можно установить от личие и тесную связь.
Вероятность события может быть вычислена до опыта и в дан ных условиях является постоянной величиной. Частота события в отличие от вероятности вычисляется только после опыта (на осно ве испытаний) и по своей величине непостоянна. Заранее указать числовые значения частоты невозможно.
Несмотря на указанные различия, между частотой и вероятно стью существуют тесная связь и взаимная обусловленность.
52
Выше было показано, что при увеличении числа опытов часто та принимает устойчивый характер и колеблется при этом в узких границах, приближаясь все более и более к некоторому постоян ному числу. Этим числом и является вероятность события. Сбли жение частоты с вероятностью события при большом числе испы таний было установлено швейцарским математиком Яковом Бер нулли (1654— 1705 гг.), который сформулировал следующую тео рему: с вероятностью, как угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе испытаний часто та события как угодно мало отличается от вероятности.
Эту теорему иногда называют законом больших чисел. Практи ческую сторону этого закона можно выразить следующими двумя положениями:
1.С увеличением числа испытаний частота стремится к вероят ности, т. е. г -+ Р.
2.При достаточно большом числе опытов считают частоту рав ной вероятности, т. е. г = Р.
Оба этих положения находят широкое применение в практике, например, при обработке результатов опытных стрельб.
6. С п о с о б ы о п р е д е л е н и я в е р о я т н о с т и
Вероятность события можно определить статистическим или ана литическим путем.
Определение вероятности события статистическим путем осно вано на использовании закона больших чисел. В этом случае для определения вероятности появления интересующего нас события производят серию опытов в определенных условиях. На основе данных, полученных при опытах, находят частоту появления дан ного события. Величину полученной на опыте частоты принимают за вероятность появления данного события в аналогичных усло виях. Чем больше произведено испытаний, тем точнее будет най дена вероятность. Найденную таким способом вероятность назы вают статистической вероятностью. Статистический способ опреде ления вероятности является основным, так как в этом случае ве роятность определяется на основе опыта, при котором проявляются все причинные связи, а сам опыт, как известно, является лучшим критерием истины.
Аналитическим путем вероятность события можно определить:
—способом непосредственного подсчета;
—из геометрических соображений;
—на основе закона распределения случайной величины;
—на основе теорем теории вероятностей.
С п о с о б н е п о с р е д с т в е н н о г о п о д с ч е т а применяет ся тогда, когда условия опыта настолько известны, что можно за ранее предположить и сосчитать, сколько возможно случаев, бла гоприятных появлению данного события из числа всех равновоз можных случаев.
53