Файл: Теория стрельбы из танков учебник..pdf

В этих условиях вероятность случайного события определяется по формуле

где Р — вероятность события;

т— число случаев, благоприятных для появления интересую­ щего нас события;

п — число всех равновозможных случаев.

При определении вероятности по формуле (1.29) понятие равновозможности считается основным и не должно быть формаль­ ным. Если, например, при бросании кубика, имеющего на своих шести гранях число очков от 1 до 6, нас интересует вероятность по­ явления грани с пятью очками, то условие равновозможности должно быть обеспечено однородностью материала, из которого изготовлен кубик, и правильной его геометрической формой. В рас­ сматриваемом примере можно считать, что т = 1 и п = 6, а веро­ ятность выпадения грани с пятью очками будет

Полученный результат означает, что при многократном броса­ нии кубика появление грани с пятью очками можно ожидать в среднем один раз на каждые шесть бросаний.

Вероятность, полученная непосредственным подсчетом, называ­

числу всех равновозможных случаев.

Пример. Пусть при стрельбе по ненаблюдаемой цели снаряды распределяются равномерно на площади, равной по фронту 20 м и в глубину 200 м. Определить вероятность попадания в цель при одном выстреле, если цель находится в пределах площади распре­ деления снарядов и размеры ее равны: по фронту 4 м и по глубине

50 м.

Решение. В данном примере нельзя подсчитать число равновоз­ можных и благоприятных случаев. Однако вероятность попадания б цель можно определить отношением площади цели к площади» на которой возможно падение снаряда, т. е.

54

Найденную таким способом вероятность называют геометриче­

ской вероятностью.

Другие способы определения вероятности будут рассмотрены в последующих параграфах.

§ 2. Вероятности сложных событий

Для расчета вероятностей сложных событий используют кос­ венные методы, основанные на теоремах теории вероятностей.

Теоремы теории вероятностей доказываются в полных курсах теории вероятностей1. Здесь же будут рассмотрены аналитиче­ ские выражения этих теорем и приведены примеры их практическо­ го применения в теории стрельбы.

1. Т е о р е м а с л о ж е н и я в е р о я т н о с т е й

Теорема сложения вероятностей применяется тогда, когда надо определить вероятность появления не одного какого-либо конкрет­ ного события, а появления одного или другого, или третьего, без­ различно какого из ряда единственно возможных несовместных со­ бытий, объединенных каким-то общим для них признаком.

Например, требуется определить, чему равна вероятность полу­ чения при выстреле промаха по дальности, состоящего из двух про­ стых несовместных событий — перелета и недолета.

Если вероятности недолета р~ и перелета р+ известны, то ве­ роятность промаха по дальности q определится как сумма вероят­ ностей этих простых событий, т. е.

Я= Р - +Р+-

Вобщем случае теорема сложения вероятностей формулирует­

вию задачи нас удовлетворяет получение или первого события, или второго события и т. д., т. е. любого из этих событий.

1 В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.

55

Пример. Пусть известно, что для хорошего стрелка вероятность попадания при стрельбе из пистолета по мишени с черным кругом равна: в десятку 0,1; в девятку 0,2; в восьмерку 0,3; в семерку 0,25; за пределы черного круга 0,15. Чему равна вероятность выбить при одном выстреле не менее 8 очков?

Решение. При одном выстреле можно выбить или 10, или 9, или 8 очков (другие события нас не интересуют). Вероятность сложно­ го события (любого из трех) будет 8 = Р ,0 4- Р, + Ря = 0 1 + 0,2 + 0,3 = 0,6 или 60%.

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероят­ ностей.

Первое следствие. Сумма вероятностей всех единственно воз­ можных несовместных событий равна единице

Pi -f" Рг + • • • + Ps — 1 •

Если в предыдущем примере сложить вероятности всех единст­ венно возможных несовместных событий, то получим единицу.

Это означает, что других событий в этом опыте нет.

Второе следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­ тий всегда равна единице. Принято обозначать вероятность инте­ ресующего события р, противоположного q. Исходя из этого, имеем

p + q = 1 -

Зная вероятность одного из противоположных событий, можно найти вероятность другого.

Пример. Вероятность промаха равна 0,3. Чему равна вероят­ ность попадания в цель?

Решение, р = 1 — q = 1 — 0,3 = 0,7.

2. Т е о р е м а у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й

Теорема умножения вероятностей применяется тогда, когда не­ обходимо определить вероятность сложного события, состоящего из последовательного или одновременного появления двух и более простых событий. Например, требуется определить вероятность по­ падания в цель, если известны вероятности попадания по дально­ сти (высоте) и по направлению, или требуется найти вероятность получения двух попаданий при двух выстрелах, или вероятность поражения цели, если известны вероятность попадания в танк и вероятность пробития брони танка. Такие и подобные задачи мож­ но решить на основе теоремы умножения.

Теорема умножения рассматривается отдельно для независи­ мых и зависимых событий.

В случае независимых событий

События независимы, если появление одного из них не оказы­ вает влияния на вероятность появления другого или других собы­ тий.

56

Например, при стрельбе на неизменных установках прицела в условиях отсутствия наблюдения за результатами стрельбы веро­ ятность попадания при втором выстреле не зависит от того, полу­ чено ли попадание или получен промах при первом выстреле.

Для независимых событий теорема умножения формулируется следующим образом: в е р о я т н о с т ь ело ясного с о б ы т и я , с о с т о я щ е г о из с о в м е с т н о г о и л и п о с л е д о в а т е л ь ­

Применение этих формул будет правомочно, если по условиям задачи нас удовлетворяет получение и первого, и второго, и т. д. со­

цель Рц.

Решение. Надо найти вероятность того, что снаряд попадет в цель и по высоте и по направлению. В данном случае

Рц = РвРб = 0,5 • 0,8 - 0,4.

Из примера видно, что вероятность сложного события всегда меньше вероятностей простых событий, входящих в него.

В случае зависимых событий

Зависимыми называют события, когда появление одного из них влияет на вероятность появления других событий. Так, например, в случае возможности корректирования стрельбы вероятность по­ падания в цель при втором выстреле будет зависеть от того, какое наблюдение было получено при первом выстреле.

Формула для определения вероятности сложного события в этом случае будет следующей

57

п о я в л е н и я н е с к о л ь к и х з а в и с и м ы х с о б ы т и й р а в ­

Пример. В отделении имеется 3 отличника боевой и политиче­ ской подготовки и 4 солдата, имеющих удовлетворительные и хо­ рошие оценки. Какова вероятность того, что вызванные инспекто­ ром два военнослужащих этого отделения окажутся отличниками.

Решение. 1. Всего в отделении 3 + 4 =*7 человек.

2. Вероятность того, что первый вызванный солдат окажется от­

личником, будет р \— -у- •

3. Вероятность того, что и второй вызванный солдат окажется

отличником, будет Рщ\ — — .

6

4. Вероятность сложного события, т. е. вероятность того, что первый отличник и второй отличник окажутся в числе вызванных, будет равна

Теоремы сложения и умножения вероятностей являются основ­ ными. На их основе выводятся остальные теоремы теории вероят­ ностей, имеющие широкое применение в теории стрельбы.

3. П о л н а я в е р о я т н о с т ь и т е о р е м а г и п о т е з

В ряде случаев, в том числе и при стрельбе, одно и то же собы­ тие может появиться в различных условиях. Величина же вероят­ ности, как известно, зависит от условий, в которых происходит дан­ ное событие. Например, попадание в цель будет наиболее вероят­ но, если средняя траектория совмещена с центром цели. Однако возможно попадание в цель и в том случае, если средняя траек­ тория не проходит через центр цели, а где-то вблизи от цели, не­ получение попадания в цель в этом случае менее вероятно.

58