Файл: Теория стрельбы из танков учебник..pdf

форма кривой, является величина h — мера точности. Физическая сущность меры точности h может быть понята полнее, если рас­ сматривать график нормального закона как разрез кучи, которая образована в результате случайного распределения отдельных ча­ стиц сыпучего материала на горизонтальной плоскости при сво­ бодном их падении из одной точки. При наличии одного и того же количества частиц разброс их будет малым и куча будет высокой, если скорость падения мала. И, наоборот, при большой скорости падения частиц разброс их будет большим, а куча низкой. Анало­ гично в отношении ошибок можно заключить: чем меньше допус­ каются по величине ошибки, тем больше h и, наоборот, чем больше ошибки, тем меньше h и меньше точность измерения.

Мера точности h имеет размерность, обратную размерности са­ мих ошибок, и с этой точки зрения она неудобна в практике. В ка­ честве характеристик ошибок, следующих нормальному закону, применяются: срединная ошибка, средняя арифметическая ошиб­ ка и средняя квадратическая ошибка.

С р е д и н н а я о ш и б к а . В практике измерений под средин­ ной ошибкой понимают такую величину, по отношению к которой все ошибки можно разделить на две равные части: одна половина ошибок меньше, а другая больше срединной ошибки по абсолют­ ной величине. Исходя из этого, для определения срединной ошиб­ ки располагают полученные из опыта случайные ошибки по их абсолютной величине в ряд в возрастающем или убывающем по­ рядке. Та величина, которая окажется в середине ряда, и будет срединной ошибкой данного способа измерения. Срединная ошиб­ ка обозначается через £.

Пример. При измерении некоторой дальности дальномером по­ лучены следующие ошибки: + 25 м, — 11м, — 18 м, + 14м,-— 6 м.

Определить срединную ошибку данного способа измерения. Решение. Расположим значения ошибок в возрастающем по­

рядке по абсолютной величине 6, 11, 14, 18, 25. Срединная ошибка в данном опыте Е = 14 м.

Если в ряду окажется четное число ошибок, то для определения Е находится полусумма двух величин, стоящих посредине ряда.

Из приведенных примеров видно, что срединная ошибка обла­ дает весьма важным свойством — она делит полученные (или воз­ можные) ошибки на две равные части: на половину меньших оши­ бок и на половину больших ошибок по своей асболютной величине.

Геометрически срединная ошибка в нормальном законе может быть определена следующим образом.

80

На графике нормального закона (рис. 36) проведем две ордина­ ты, которые делят области положительных и отрицательных оши­ бок пополам, абсциссы этих ординат определяют значение сре­ динной ошибки.

Площадь, заштрихованная на рис. 36, равна половине всей пло­

Пример. Допустим, что при данном способе измерения средин­ ная ошибка Е =* 10 м. Это означает, что при измерении этим спо­ собом 50% всех возможных ошибок будут находиться в пределах от нуля до 10 м, а остальные 50% ошибок будут по своей абсолют­ ной величине больше 10 м.

С мерой точности h в нормальном законе срединная ошибка Е связана следующим соотношением

случайных ошибок так же, как и случайных величин, можно было бы характеризовать математическим ожиданием случайной ошиб­ ки. Однако в нормальном законе одна половина ошибок имеет знак минус, а другая — знак плюс. Следовательно, М (8) = 0. Поэтому Для характеристики совокупности ошибок, следующих нормально-

му закону, находят математическое ожидание абсолютного значе­ ния ошибки по формуле

ностей математическое ожидание квадрата ошибки определяется по формуле

и называется дисперсией ошибки.

Если извлечь квадратный корень из дисперсии, то получим вели­ чину, которую называют средней квадратической ошибкой и обоз­ начают ее через Е%или через а.

Соотношение между характеристиками нормального закона ошибок

Рассмотренные выше характеристики ошибок: срединная, сред­ няя арифметическая, средняя квадратическая ошибки по существу своему ошибками не являются, так как они не представляют собой разность между результатом измерений и истинным значением из­ меряемой величины. Поэтому смешивать их со случайными ошиб­ ками нельзя. Каждая из этих характеристик является мерой рассеи­ вания случайных ошибок и характеризует точность данного спосо­ ба измерения.

82

В теории стрельбы за основную характеристику точности спосо­ ба измерения принята срединная ошибка. Определение срединной ошибки по ее месту в ряду абсолютных значений частных ошибок дает практически точное (подходящее) значение только при доста­ точно большом числе измерений. При небольшом числе измерений за подходящее значение срединной ошибки лучше всего брать ее величину, вычисленную через среднюю квадратическую или сред­ нюю арифметическую ошибку. Для этого используется соотноше­ ние между характеристиками ошибок.

Из равенств (1.49), (1.51) и (1.54) видно, что величины Е, Еи и Е2 однозначно связаны с величиной h. Используя эти равенства, найдем соотношение между характеристиками нормального зако­ на ошибок

На основе соотношений (1.55) и (1.56), зная одну из характери­ стик закона, можно вычислить другие. Наиболее широко эти соот­ ношения применяются при обработке статистических данных и, в частности, при обработке результатов опытных стрельб.

Определение вероятностей ошибок, следующих нормальному закону

Аналитическая форма нормального закона выражает связь ме­ жду величиной ошибки и плотностью вероятности ее появления. Поэтому на основе закона в практике находят не вероятность ошибки определенной величины, а вероятность ошибок в заданных пределах. Для решения этой задачи формула нормального закона несколько видоизменяется.

Так как в теории стрельбы за основную характеристику точно­ сти способа измерений принята срединная ошибка, то и функцию нормального закона выражают через срединную ошибку.