ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 0
или с использованием выражений (8) |
и |
|
|
||
Сгг+1 |
_ |
— (2г — 1 — г » 2 + а |
. |
<?/(2г — 3 — г » 2 |
|
CV_i |
|
|
|
1 — а/(2л — 3 — г » 2 | |
|
|
|
| дЗ/(2г—3 — t » 2 (2r — 5 — г » 2 |
|
||
|
|
1 — а/(2г — 5 — /р,)2 — . . . |
|
||
|
|
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Е 5 |
|
Расчет коэффициентов а2г, а2г, |
у2г, ч\трядов (1.33) и (1.34) |
||||
Указанные степенные ряды представляют собой ряды Тейлора |
|||||
для коэффициентов функций Матье дробного порядка се^ |
(ti—q) |
||||
и сер2(|, |
q) |
по (1—Pi) и р2 соответственно. Отличие ряда |
(1.33) |
||
от обычно принятой для ряда Тейлора формы состоит в том, что
разложение в (1.33) |
осуществляется |
по |
степеням (1—Р), |
а не |
|
(Р— 1). Это удобно |
потому, что |
P i< l |
и, |
следовательно, |
в ряде |
(1.33) сомножитель, |
зависящий от |
независимой переменной, |
всегда |
||
положителен, а в ряде Тейлора он положителен для четных и отри цателен для нечетных степеней независимой переменной.
Учитывая сделанные замечания и пользуясь известным выраже
нием для ряда Тейлора [21], можно написать: |
|
|
|
|||||
|
к%г■ |
dCa |
|
|
dC2r |
|
( 1) |
|
|
dh |
3i=i |
|
2 |
г=о |
|||
|
|
|
|
|||||
|
Г2Г = |
d2C.2 |
|
|
d*C% |
|
|
|
|
dP? |
*i=l |
V2л |
|
Ps=0 |
(2) |
||
|
|
dp? |
|
|||||
Выражение (3) приложения 3 |
преобразуем к виду: |
|
|
|||||
|
|
C2r = |
q |
С*г—ъ+ С2г+2 |
|
|
(3) |
|
|
|
a - ( 2 r |
+ p)2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем |
первую и вторую производные от |
С2г |
по Р, помня при |
|||||
этом, что |
в выражении (3) |
от р |
зависят |
величины С2г, С2г+2, |
||||
С2т-2, а и q. Обозначим производные коэффициентов точками над ними:
Q _ |
У |
Ч~ Qr+a) |
|
С2Г_ 2 |
С2г+2 |
|
'2r“' |
|
а — (2 /-+ р )2 |
+ |
й _ ( 2 г + р ) 2 Х |
|
|
|
|
а — 2 (2л - f Р) |
|
(4) |
||
|
|
X |
|
|
J |
|
|
|
а — (2г 4- Р)2 |
|
|||
Q, _ |
9 (С2г—2 4~ C jr+t) |
. |
Cir—2 4~ Qr+2 |
|
||
2 г _ |
|
а - ( 2 г + р)2 |
+ |
а _ ( 2 л + р)2 Х |
|
|
|
|
|
|
|
16; |
243 |
X |
2q — 2<7 |
2 ( 2 л + |
P ) |
|
^2/-—2 ~Ь С2Г+2 |
7 - 2 |
q — |
||||||||
|
|
|
a — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
«— (2/- + p)2 |
a - |
(2r + p) 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
g _ 2 ( 2 r + p) |
J |
g - 2 ( 2 r + P) |
|
a - 2 |
j |
|
|||||||
|
|
|
a — (2r + |
P)2 |
a — (2r - f P)2 |
|
Я a - |
(2r 4 |
- p)* J ' |
( ' |
|||||
В приложении 7 [см. формулы (3) и (6 )] установлено, что квад |
|||||||||||||||
рат малых |
отклонений Рг=ри |
от 0 |
и |
Pi = р* |
от 1 |
линейно |
связан |
||||||||
с малыми |
отклонениями |
а |
и |
q от |
соответствующих |
собственных |
|||||||||
значений |
функций Матье |
а0 и аи [см. соответственно формулы |
(2) |
||||||||||||
и (4) |
в |
приложении |
1]. |
Это |
означает, |
что |
первые производные а |
||||||||
и q по |
Р, |
входящие |
в выражения |
(4) |
и |
(5) |
и взятые |
вблизи |
упо |
||||||
мянутых собственных значений функций Матье, т. е. около соот ветствующих границ диаграммы стабильности (см. рис. 4), будут
малыми величинами порядка |
р2 (или 1—Pi) |
и |
ими можно |
прене |
|||||||
бречь при |
расчете рядов |
(4) |
и (5), если р2 (или 1—Pi) ^ 0,1,. Так, |
||||||||
после некоторого упрощения выражения |
(4) |
и |
(5) |
примут вид: |
|||||||
Г |
* |
—2 "Ь С2Г4-2 |
_1_0л -( 2г 4 ~ |
Р ) {Съг— |
2 |
~Ь ^ 2 г + г ) |
(6) |
||||
Г ' |
а - ( 2 г + Р)з |
“Г ^<7 |
[а - |
(2г + |
р)*[* |
||||||
|
|
{ р г г — 2 + ^гг+г) , G |
|
|
|
|
4?(2' + Р) |
|
|||
и 2г |
|
а — (2л |
Р)2 |
+ [а-!Г=^ Г ,С1Г1 \ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с 2г_-2 + |
C2r-l-2 J •• |
|
а |
|
|
|
а + |
3 ( 2 г + р)* |
, |
||
а -(2 г + Р )2 \q ~ q а— ( 2 г - [ - Р ) 2 + |
2 ? [ а — ( 2 г + P ) 2 ] V ^ ' ^ |
||||||||||
Выражения (6) и (7) |
представляют |
собой |
рекуррентные соот |
||||||||
ношения между С2г, С2г- 2 и С2г+2 и между С2г, С2г- 2 и С2г+2 и
могут быть легко преобразованы в ряды, не содержащие в правой части производных того же порядка от коэффициентов С2г+23, что и производная от С2г, стоящая в левой части равенства. Так, напри мер, выражение (6 ) преобразуется в ряд вида;
±00
С2 Г — |
2t?('+ l/ 0(2г + 2/+Р) х |
|
[а — (2г -)- 2/ + Р)2]2 |
X |
|
/=0 , ±1, ±2 , |
|
|
i + - r |
|
|
X i p 2 r + 2 j — 2 ± ^ 2 г + 2 / + 2 ) |
(8) |
|
|
So |
|
X |
П [ а — ( 2 г + 2 s + Р ) 2 ] |
|
|
s=0 |
|
где s0 = (( 1 ПрИ [ >0, |
С2г+2/_ 2 и С2г+ г/+2 при р = |
0 или р= 1 яв- |
w + i при 7<и; |
|
|
ляются коэффициентами разложения вырожденных функций Матье
244
целого порядка се0(£, q), или cei(g, q) соответственно. Зная выра
жения для |
Сгт и С2г, можно |
определить значения |
искомых коэффи |
||||
циентов: |
|
|
|
|
|
|
|
а 2г ~ |
~ Сгг |
I '> |
a 2r ~ |
Czr 1(3=0 > |
У2г = |
^2r !p = l I (9 ) |
|
|
|
|
|
У°2г = |
Съг 1(3=0 • |
|
|
Ряды |
вида |
(8) |
при |
[а |< 1 и |<?|<1 быстро сходятся и для расчетов |
|||
с достаточной точностью в нашем случае можно учитывать не более 3—4 первых членов.
|
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Е 6 |
|
Расчет коэффициентов Aix, А2х, |
Bix, |
В2х, Aiy, В1у, А2у, В2у |
|
|
Согласно принятым обозначениям параметры ионов, двигающих |
||||
ся по нестабильным траекториям, определяются выражениями: |
|
|||
* = Ах exp (р |) (ев! + у sej) - f |
Вх exp (— р |) (cej — у sej); |
(1) |
||
|
У = се0 (Ау ехр (р|) |
+ Ву ехр (—р£)). |
(2) |
|
Полагая, что в начальный момент |= |о ; |
х = х 0; х = х 0; у=уо и у = Уо, |
|||
находим две системы алгебраических уравнений относительно |
Ах, |
|||
Вх и Л , и Ву: |
|
|
|
|
х0 = |
Ах ехр (р |0) (се10 + у se10) + |
Вх ехр (— р£0) (се10 — у se10); |
(3) |
|
|
*о = Ах ехр (|Ag0) [р (се10 + у se10) + (се10 + 7 se10)] — |
|
||
|
— Вх ехр (— р |0) [р (се10 — у se10) — (се10 — у se10)]; |
(4) |
||
|
Уо = се00 [Ау ехр (р£0) + Ву ехр — (р |0)]; |
(5) |
||
Уо = |
Ау [се00 + р се00) ехр р10+ В у (се00 — р се00] ехр (— р£0) , |
(6) |
||
где второй индекс при сеь sei и сео обозначает лишь, что указанные функции Матье целого порядка взяты при g—go- Из полученных уравнений определяем:
Ах -« ехр (— р£„)/И^ {— [(сею + V seio) ^ — (сею — V se10)] х0—
(се10 — у sei0) х0] ; |
(7) |
245
|
В х = [exp (р£0)IW X\2 |
{— [(се10 + |
у sel0) p + |
|
||||||
|
+ |
(сею + |
У seio)3 x0 + |
(сею + |
Уse10) x0}; |
(8) |
||||
|
W2X = |
2y (ce10 se10 — ce10 sei0) — 2p се? о! |
(9) |
|||||||
|
Ay = |
[exp(—p£0)/W2y] [(ce00 — p ce00) y0— ce00t/0]; |
(10) |
|||||||
|
By =[exp p io /^ ][ - (c e 0o + |
p ce00) ya + |
ce00 г/0]; |
(11) |
||||||
|
|
|
|
wl = ~ 2^ ce00- |
|
|
(12) |
|||
Подставляя |
(7), |
(8), |
(10), |
(11) |
в (1) |
и |
(2), находим: |
|
||
(cet + |
у sex) exp (p |L) |
f |
|
|
|
|
|
|
||
* = -------------- |
~ 2-------------- |
|
|
[—Ц (ce10 — Уse10) + |
(ce10 — у se10)] *0 — |
|||||
— (ce10 |
• У seio) x0 |
|
(cei — Y sei) exp (—pgL) |
[ce10 -f- Y seio)l*~b |
||||||
|
|
1V2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
W |
X |
|
|
|
|
|
+ |
(сею + |
У sei0)] *o + |
(ce10 + Y seio) x0\; |
(13) |
|||||
|
У = |
ce0exp(ptL) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
^2 |
Ксеоо — И ceoo) Уо — ceool/o] -r |
|
||||||
|
ce0 exp (— p |L) |
|
|
ce00) y0 + ce00 y0] , |
|
|||||
|
+ --------- |
^ 2 ---------- |
[—(ce0o + |
(14) |
||||||
где gL = | —go-
Анализ выражений (13) и (14) указывает на возможность их упрощения в интересующей нас области значений р. Так как 0=£= ^р<С 1/^г, т. е. на границе нестабильности и в непосредственной близости от нее, получим:
|
,. |
|
х0се10 — х0сею |
(15) |
|
п т х = 2 с е ! --------- :------------------- :------------— |
|||
|
й -о |
1 ,65(ce10 sel0—се10 se10) —сеJ0 |
|
|
|
|
се0 |
(— сеоо Уо + сеооУо), |
(16) |
|
Пт у «= |
|||
|
д-*о |
сеоо |
|
|
поскольку |
в конце |
пролетного пространства в анализаторе даже |
||
для ионов |
самых легких масс |
будет много больше 10. |
|
|
246