Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 222
Скачиваний: 0
to
со
a>
Pi
?
соответствие аналитической кривой расположению эмпирических точек. Этот способ подбора коэффициента асимметрии, кроме того, требует предварительного определения среднего значения и коэф фициента вариации.
Графоаналитический способ позволяет установить величину па раметров аналитической кривой непосредственно применительно к той кривой обеспеченности, которая в большей мере соответствует расположению эмпирических точек.
Наиболее полно графоаналитические способы определения па раметров биномиальной и логарифмически-нормальной кривых рас пределения рассмотрены Г. А. Алексеевым [3, 5]. Изложенная в ука занных работах попытка получить аналогичное решение в отноше нии схемы Крицкого и Менкеля не привела к удовлетворительным результатам, особенно при коэффициентах скошенности 5> 0,5 .
При использовании графоаналитического способа в качестве ис ходного и основного принимается условие совпадения аналитиче ской кривой обеспеченности по крайней мере в трех точках с эмпи рической кривой, достаточно хорошо соответствующей расположе нию эмпирических точек.
Применительно к биномиальному закону распределения исполь
зование графоаналитического способа основывается на следующих положениях.
Аналитическая биномиальная кривая обеспеченности xp=f(p),
как показано в главе II, строится на основе таблицы вероятностей превышения нормированных отклонений от среднего значения
Хп — х |
kp- 1 |
tP{P, Cs) = |
С у |
|
|
т. е. по формуле |
|
kp= \ + Cvtp(p, |
Cs) |
или |
|
Хр—x -\~axtp{p , |
Cs). |
В соответствии с этим применительно к трем опорным точкам хР , хр„ Хр3, лежащим на эмпирической кривой обеспеченности,
например, соответствующим значениям обеспеченности P i = 5%, р2 —50% и рз = 95%, через которые должна пройти искомая анали
тическая кривая обеспеченности, можно записать три уравнения:
х Р,=х + аЛ , ’ |
(3.22) |
|
|
||
|
|
(3.23) |
•Хл = * + |
0Л . |
(3.24) |
|
||
стремя неизвестными параметрами х, ох и Cs. Параметр Cs входит
вуказанные уравнения в силу того, что величина tP является функ цией Cs.
178
Для определения коэффициента асимметрии воспользуемся ве личиной коэффициента скошенности (S), определение которого дано
в § 4 главы II,
5 = |
Х Р , |
+ Х Рз |
2Х Р2 |
(3.25) |
|
|
* P i ~ |
Х Ръ |
|
или в частном случае |
|
|
|
|
о |
Х ь + *95 — 2^50 |
(3.26) |
||
|
|
*5 - |
*95 |
|
Вводя в равенство (3.25) |
выражения для Хрх |
хР%, хРз, получаем |
||
S |
* P l |
t p s |
^ Р г |
(3.27) |
|
|
|||
|
|
Pi |
Рз |
|
или применительно к избранным ординатам кривой обеспеченности
5 |
Н+ |
^95 ~~ ^^50 |
(3.28) |
|
h — Чь |
||||
|
|
|||
По таблице ординат биномиальной кривой обеспеченности1 можно установить величины f5, /50 и £95 при различных значениях Cs
и, следовательно, найти по формуле (3.28) значения 5.
Таким образом, определив по равенству (3.28) величину 5, по таблице биномиальной кривой обеспеченности легко определить па раметр Cs.
Для получения выражения, определяющего величину среднего квадратического отклонения, вычтем из левой и правой частей урав нения (3.22) соответствующие части уравнения (3.24) и получим
ах (* > , |
x Pl ХР > |
|
отсюда |
|
|
* P i * Р |
з ___ X g — -Г95 |
(3.29) |
tPi —tРз |
--ti 95 |
|
Среднее значение находим из уравнения (3.23) |
|
|
х — Xgo— ах^5 о- |
(3.30) |
|
Если коэффициент скошенности, вычисленный по формуле (3.28), получается отрицательным, то это свидетельствует об отрицатель ной асимметрии (С8< 0) кривой обеспеченности xp= f(p). В таких
случаях пользуются таблицей нормированных отклонений ординат биномиальной кривой обеспеченности от середины в зеркальном отображении, т. е. приведенные в таблице величины берутся с об ратным знаком
хр— X
<*х
1 См. «Руководство по определению расчетных гидрологических характери стик» (приложение 3).
12* |
1 7 9 |
для значений обеспеченности р* = 100— р и при положительном значении коэффициента асимметрии С* = | Cs I. В соответствии с по
следним выражением ординаты биномиальной кривой обеспеченно сти вычисляются по формуле
x p= x —atp*. |
(3.31) |
Из условия совпадения кривой обеспеченности с тремя опорными точками эмпирической кривой обеспеченности хь, х50, *95 получаем
следующие три уравнения:
|
X |
5===-^5» |
|
(3.32) |
|
X |
Oj^so= Х5о, |
|
(3.33) |
|
X |
°jr^5===*^9o* |
|
(3.34) |
Решая эту систему, найдем соотношение между коэффициентами |
||||
скошенности и асимметрии |
|
|
|
|
£ * — . __ о |
2 х 53 — -Г5 — -*-'95 |
^ 5 ~ Ь ^ 9 5 ~ 2 ^ |50 |
(3.35) |
|
|
Х ь — * 9 5 |
'9 5 |
||
|
|
|||
Далее находим формулы для определения среднего квадратиче ского отклонения и среднего значения:
* 5 — * 9 5 |
(3.36) |
|
tb— hb |
||
|
||
Л'—Хт~тах^'о0‘ |
(3.37) |
Установив указанным образом параметры статистической сово купности и используя таблицу биномиальной кривой обеспеченно сти, легко подсчитать величины различной обеспеченности.
Применительно к логарифмически-нормальному закону распре
деления графоаналитический способ определения параметров осно ван на следующих положениях.
Как показано в § 9 главы II, асимметричный закон распределе ния вероятностей xP = f(p) можно трансформировать в нормальный
закон распределения zv = F(p) путем |
логарифмического |
преобра |
зования функции величин исходного ряда по соотношению |
|
|
y = lg z, |
■ |
(3.38) |
где z —x — а. Для осуществления такого преобразования необхо
димо определить величину параметра а, использование которого позволит на клетчатке вероятностей нормального закона распреде ления представить асимметричное распределение в виде прямой.
В качестве простейшего элементарного приема для определения
180
величины а можно использовать способ подбора этого параметра,
исходя из условия спрямления эмпирической кривой обеспеченности
Р(хт- а ) = ;г~- °.3- • 100%, |
(3.39} |
на клетчатке вероятностей логарифмически-нормального распреде ления. Эта клетчатка, как показано ранее, имеет логарифмическую шкалу ординат у = lg (x — а) и шкалу нормального закона распре деления по оси абсцисс tp = f(p). Эта шкала соответствует таблице
нормированных отклонений от среднего значения
*р= |
'V/Vy У (при S |
= 0 )- |
(3-40) |
|
Здесь оу — среднее |
квадратическое |
отклонение |
наблюденных |
|
значений yi = \g(xi— a), |
(/2 = lg (х2 |
— а), |
..., yn= \g(xn — а) от их |
|
средней величины у, равной |
|
|
|
|
y = - ^ - 2 y = y 5 0 |
= l g ( * B 0 - a ) . |
(3-41> |
||
Величина у совпадает в данном случае с медианной величиной (/so, поскольку новая статистическая переменная у подчиняется нор
мальному закону распределения.
Из выражения (3.40) следует, что в координатах у Р и tp лога-
рифмически-нормальная кривая распределения выражается урав нением прямой
Ур—Уво+Зу^,. (3.42)
Очевидно, что уравнение (3.42) относительно исходной перемен
ной х запишется в виде |
|
lg С*р - а) = lg (*5о - а) -Н Л . |
(3.43) |
Приведенные распределения, и в частности уравнение (3.43), позволяют, не применяя способа подбора, однозначно решить за дачу о назначении параметра а с помощью трех опорных ординат А’г,%’ л’5о% А95%' снятых со сглаженной эмпирической кривой обес печенности xP — f(p). Для этого уравнение (3.43) запишем относи
тельно указанных опорных ординат:
lg(*8 —o )= lg (* so -« ) + |
VB* |
(3.44) |
lg (-*95 — а ) = lg (х30 —a) + |
а / дз. |
(3.45) |
Сложив левые и правые части приведенных уравнений и приняв во внимание, что ^5=1,64, t95= — 1,64, для нормального закона рас
пределения получим
lg (*s - a) f lg (х95 - a)= 2 lg (*„ - a)
181