Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

стем координат, в которых кривые обеспеченности, обладающие различной асимметрией, выражались бы в форме прямых линий.

Непосредственная оценка величины коэффициента асимметрии по недостаточно большой совокупности исходных дан­ ных связана с большой по­ грешностью. Поэтому часто величину коэффициента асимметрии устанавливают по соотношению с величиной коэффициента вариации.

Вследствие этого клетчатки вероятностей, спрямляю­ щие кривые обеспеченности асимметричных рядов, прак­ тически целесообразно стро­ ить не по признаку абсолют­ ных значений коэффициен­ тов асимметрии, а в зависи­ мости от соотношения Cs/Cv.

Опыт гидрологических рас­ четов показывает, что во многих случаях это отноше­ ние может быть принято ра­ вным 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0;

для которых и целесообраз­ но иметь соответствующие клетчатки.

Схему построения сово­ купности указанных клет­ чатой применительно к кри­ вым Крицкого и Менкеля рассмотрим на примере со­ отношения Cs/Cv= 2,0 (клет­

чатка Бровковича).

В качестве исходной при­ мем уже рассмотренную клетчатку вероятностей нор­ мального закона. На этой клетчатке в нижней части графика (рис. 3.3) построим

биномиальную кривую обеспеченности с параметрами: х=1, С„=1,

ется. Для выполнения операции спрямления необходимо транс­ формировать оси ординат в соответствии со схемой, указанной на рис. 3.3. При этом угол наклона трансформирующей прямой, расположенной в верхней части графика, определит масштаб

167

Аналогичным образом получены клетчатки вероятностей при

Cs/Cv, равном 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0.

к

1 CS*=3CV, 2 Cg=2Cv, 3 —Ca —Cv.

Рассмотренная система клетчатой пригодна для статистической обработки большинства рядов параметров гидрологического^ ре­ жима, обладающих положительной асимметрией. Очертание бино­ миальных кривых обеспеченностей на клетчатке Бровковича при различных значениях Cs (при Сг, = 0,5) иллюстрирует рис. 3.4.

На основании изложенных принципов могут быть получены клетчатки вероятностей и для рядов с отрицательной асимметрией. Такой асимметрией, например, обладают ряды уровней воды. Од­ нако изучение структуры таких рядов показывает, что обычно от­ рицательная асимметрия возникает как следствие статистической неоднородности рассматриваемой совокупности. Так, уровни воды, формирующиеся в пределах основного русла реки и в пойме, пред­ ставляют собой самостоятельные совокупности, каждая из которых не имеет отрицательной асимметрии.

168

В этих условиях более целесообразно использовать прием по­ строения кривой обеспеченности, изложенный в главе IV, чем при­ менять клетчатку вероятности для всей неоднородной совокупности в целом. По этим соображениям клетчатки вероятностей для рядов

сотрицательной асимметрией здесь не приводятся.

3.Клетчатка вероятностей логарифмически-нормального закона

распределения может быть получена из клетчатки нормального за­ кона, если у нее ось ординат выразить в виде логарифмической шкалы. На такой клетчатке спрямляются те статистические сово­ купности, которые в результате логарифмического преобразования исходной переменной трансформируются в совокупности, подчиняю­ щиеся нормальному закону распределения. Аналитические основы такого преобразования рассмотрены в § 3 главы II.

Рассматриваемую клетчатку в гидрологической литературе ча­ сто называют клетчаткой вероятности для кривых со значительной асимметричностью. Это наименование возникло в связи с тем, что логарифмически-нормальная кривая является достаточно асим­ метричным распределением, коэффициент асимметрии которого примерно соответствует соотношению Cs~3Cv+ C%. Более полно

этот вопрос рассмотрен в § 9 главы II.

Очертания биномиальных кривых обеспеченностей (при Cv—

=0,5) на рассматриваемой клетчатке иллюстрирует рис. 3.5.

4.Клетчатка вероятностей распределения Гудрича может быть получена путем трансформации кривой обеспеченности логарифмов

модульных коэффициентов, представленной в системе координат

сравномерными шкалами. Для построения, выполненного на рис. 3.6,

вкачестве исходной использована кривая обеспеченности с пара­

метрами: k= \\ С„ = 1,0; Cs= 2.

Полученная шкала обеспеченностей может быть использована или в сочетании с равномерной шкалой ординат (на которую нано­ сятся значения логарифмов случайной переменной), или в сочета­ нии с логарифмической шкалой (на которую наносятся значения случайной переменной).

Рассмотренная система координат обеспечивает спрямление ин­ тегрального закона распределения Гудрича при тех соотношениях между параметрами Cs и С„, при которых это распределение при обеспеченности 10 0 % проходит через нулевое значение случайной

переменной. Эти соотношения представлены на рис. 2.12.

Закрепляя ось ординат в виде модульных коэффициентов, мо­ жно, как указано выше, получить дополнительные шкалы коэффи­ циентов вариации.

Клетчатку Гудрича в гидрологической литературе иногда назы­ вают клетчаткой асимметричной частоты. Это название нельзя при­ знать удачным, так как все распределения, характеризующиеся ко­ эффициентом асимметрии, отличным от нуля, являются асиммет­ ричными, и, следовательно, соответствующие им клетчатки также можно считать клетчатками асимметричной частоты. Фактически рассмотренная клетчатка пригодна лишь для спрямления

1 6 9

Рис. 3.5. Биномиальные кривые обеспеченности при С„ = 0,5 и различных С„ на клетчатке лог-нормального распределения.

, - c - i c v- г - с , - о - з —С5=—2С„; 4 - С , - Ь С , .

Ьдк

Рис. 3.6. Схема построения клетчатки вероятности распределения Гудрича.

интегральной кривой распределения, соответствующей уравнению Гудрича при указанных соотношениях между параметрами Cv и Cs.

Очертания кривых обеспеченностей Гудрича на-рассматривае­ мой клетчатке иллюстрирует рис. 3.7.

5. Клетчатка вероятности Гумбеля, изображенная на рис. 3.8, получена путем трансформации закона распределения Гумбеля (см. табл. 2.7). Схема трансформации исходной кривой обеспеченности не отличается от уже рассмотренных ранее. Вследствие того что

Рис. 3.7. Кривые распределения Гудрича при С„ = 0,5 и различных С,.

1 — С в = 0 , 2 — С , *=0,5, 3 — С , “ 1,0.

распределение Гумбеля характеризуется одним фиксированным значением коэффициента асимметрии (Cs= l,14), не возникает не­ обходимости иметь набор клетчатой, как, например, при использо­ вании распределения Крицкого—Менкеля (или биномиального за­ кона).

§ 4

применение клетчаток вероятностей

Порядок использования клетчаток вероятностей рассмотрим на конкретных примерах.

Пример I. В одной из точек живого сечения р. Турунчук (ру­ кав р. Днестра) произведено 300 измерений скоростей те­ чения. Требуется установить соответствие полученной статистиче­ ской совокупности нормальному закону распределения и определить величину коэффициента вариации.

171

Сгруппированные характеристики рассматриваемой совокупно­ сти представлены в табл. 3.2. Среднее значение скорости для всей рассматриваемой совокупности равно 68 см/с.

Т а б л и ц а 3.2

Сгруппированные значения скоростей течения (в модульных коэффициентах) и соответствующие им эмпирические обеспеченности (р. Турунчук)

Эмпирические данные, нанесенные на клетчатку вероятностей, спрямляющую кривые обеспеченности при Cs—0 (рис. 3.9), показы­

вают, что рассматриваемая статистическая совокупность достаточно хорошо аппроксимируется прямой линией.

Учитывая физическую сущность рассматриваемой статистиче­ ской совокупности и произведенное сопоставление, можно с доста­ точным основанием считать, что эта совокупность подчиняется нор­ мальному закону распределения. Продолжая полученную прямую до пересечения со шкалой коэффициента вариации, находим вели­ чину этого параметра (Си = 0,05). Эта величина совпадает с ана­ литическим расчетом, который здесь не приведен.

Пример II. Требуется построить эмпирические кривые обеспе­ ченности годового стока (в модульных коэффициентах) р. Припяти у г. Мозыря и р. Сож у г. Славгорода, определить параметры кри­ вых распределения и величин годового стока различной обеспе­ ченности.

Для построения располагаем каждый исходный ряд в порядке убывания модульных коэффициентов (k) и для каждого члена ряда

определяем по формуле (3.5) величину эмпирической обеспеченно­ сти (Рт ) - Соответственные значения k и Рт наносим на клетчатку

вероятностей. Выполненное построение на клетчатке, соответствую­ щей соотношению CS = CV, показывает, что применительно к сово­

купности величин модульных коэффициентов годового стока р. При­ пяти у г. Мозыря эта клетчатка обеспечивает трансформацию инте­ грального закона распределения в прямую (рис. 3.10). Пользуясь

173

шкалой коэффициента вариации, определяем величину этого пара­ метра Cv = 0,32. Из условия спрямления кривой обеспеченности рас­

сматриваемого ряда на использованной клетчатке заключаем, что Cs= 0,32. Экстраполируя полученную прямую в зону интересующих

нас обеспеченностей, можно установить величины годового стока различной обеспеченности, учитывая, что норма годового стока равна 372 м3/с.

Построенная аналогичным образом эмпирическая кривая обес­ печенности годового стока р. Сож у г. Славгорода на рассматри­ ваемой клетчатке не спрямляется, а образует прогиб в сторону оси абсцисс. Это свидетельствует о том, что ряд годового стока р. Сож характеризуется более высоким коэффициентом асимметрии.

Применение клетчатки, соответствующей соотношению CS = 3C„, позволяет осуществить преобразование кривой обеспеченности рас­

ряда равна Cs~3Ct, = 0,9. Определение коэффициента вариации и величины годового стока различной обеспеченности производится аналогично тому, как это указано выше.

Рассмотренные примеры в равной мере являются иллюстрацией использования и иных клетчатой вероятностей.

§ 5

графоаналитические методы определения параметров статистических рядов

Графическое изображение статистического ряда на клетчатке вероятностей может быть использовано не только для непосредст­ венного определения членов статистической совокупности различ­ ной обеспеченности, но и для вычисления параметров распределе­ ния графоаналитическим методом.

Необходимость использования графоаналитического способа, в частности, может возникнуть в том случае, когда на имеющейся клетчатке вероятностей рассматриваемая статистическая совокуп­ ность спрямляется недостаточно полно, вследствие чего появляется некоторая неопределенность в выполнении операции экстраполя­ ции. Кроме того, в некоторых случаях оценка основных статистиче­ ских параметров изучаемых совокупностей выступает в качестве самостоятельной задачи. Графоаналитические способы позволяют упростить решение этой задачи.

Например, часто выбор расчетного значения коэффициента асим­ метрии производится на основании построения нескольких аналити­ ческих кривых обеспеченности, соответствующих различным вели­ чинам коэффициента асимметрии Cs или различным величинам от­ ношения Cs/Cv. В качестве расчетного принимается то значение

рассматриваемого параметра, при котором достигается лучшее

176