Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

возрастает с увеличением исходного коэффициента вариации и при­ нятого отношения Cs/Cv', точно так же на величину смещения дейст­

вует и увеличение коэффициента внутрирядной корреляции между смежными членами ряда. Увеличение объема выборки уменьшает величину смещения выборочных ординат кривой обеспеченности. Смещенность ординат кривой обеспеченности может оказаться пра­

= 1,0) и больших значениях внутрирядной корреляции (г = 0,3-^0,5). При использовании в расчетах значений выборочных коэффици­ ентов асимметрии (т. е. в случае трех свободно назначаемых пара­ метров) смещенность ординат кривой обеспеченности увеличивается вследствие смещенности коэффициентов асимметрии по сравнению

со случаем двух свободно назначаемых параметров (х, Cv).

Величины смещенности выборочных ординат кривых обеспечен­ ности могут быть устранены введением поправок. Устранение сме­ щенности ординат кривых обеспеченности может быть осуществлено и путем введения соответствующих поправок, устраняющих сме­ щенность выборочных коэффициентов вариации и асимметрии, ис­ пользуемых для вычисления ординат кривых обеспеченности.

оценка случайных колебаний выборочных ординат кривых обеспеченностей

В математической статистике [111] доказывается, что дисперсия cj2 выборочных оценок статистических параметров (у), в частности,

интересующих нас величин коэффициентов вариации, асимметрии и ординат кривой обеспеченности, являющихся функциями центра

распределения х0 и центральных моментов р2, Цз, щ, в общей форме

может быть представлена в виде зависимости

водные функции, определяющей зависимость рассматриваемых па­ раметров (у) кривых распределения от соответствующих статисти­

ческих моментов у=<р (х, ц2, Цз, ц4) ; о и г — среднее квадратическое

отклонение и коэффициент корреляции величин, обозначенных ин­ дексами.

Опираясь на приведенное общее выражение для оценки диспер­ сии, можно получить записанные ранее формулы (5.48), (5.54) и (5.62). Общую схему использования уравнения (5.64) рассмотрим на примере вывода формулы стандартной ошибки ординат кривой

308

обеспеченности (вхт) применительно к биномиальному распреде­

лению с соотношением С«= 2СГ.

Врассматриваемом случае функция, связывающая величину хР

сопределяющими ее величинами, как известно, имеет вид

Х р = Х - \ - а х Ф = Х -{-У \> -2 ф ,

где Ф — табличное значение биномиального закона, зависящее от коэффициента асимметрии (Cs) и обеспеченности (р), которой от­ вечает величина хР>т. е. Ф= Ф(Св, р); ох — среднее квадратическое

отклонение ряда величин х.

Если CS = 2CV, величина Ф становится функцией выборочных оце­ нок второго центрального момента цг, поскольку Cs уже не высту­

пает в качестве самостоятельного параметра. Применительно к рас­

получаем

•—5 = —)_|/|х2ф Л2-5^-(1+ 3(а2) +

3 0 9

где Л = 1+2^-^- + Ф8а ) (1 +3а2) + 4ог( “ТГ+фаа) ; Ф=

■нормированное отклонение от среднего ординат кривой

Со

обеспеченности; величины Ф приведены в таблице биномиального

рассчитывается величина ох .

В том случае, если при построении кривой обеспеченности зна­ чение Cs определяется не по соотношению с величиной коэффици­

ента вариации, а непосредственно из выборочных оценок второго

Второе, заключенное в скобки, слагаемое под корнем равенства (5.69) выражает ту часть рассеяния хр, которая зависит от колеба­ ний выборочных оценок коэффициента Cs, привлекаемого для опи­

сания закона распределения в виде самостоятельного параметра. Впоследствии Крицкий и Менкель [79] использовали уточненную формулу средней квадратической ошибки выборочных ординат кри­ вой обеспеченности при двух свободно назначаемых параметрах

(х, Сг>) и при фиксированном отношении Cs/Cv= 2. Уточнение, про­

изведенное Цинь Гу-анем, касалось учета корреляции между выбо­

рочными оценками х и а. Эта связь отсутствует для выборок из со­

вокупностей, подчиняющихся нормальному закону распределения. Для асимметричного биномиального распределения такая корреля­ ция существует и влияет на оценки стандартных ошибок выбороч­ ных значений коэффициентов вариации и выборочных оценок орди­ нат кривой обеспеченности (квантилей). С учетом отмеченного об­ стоятельства вместо формулы (5.68) получено выражение

/ 1+ 2 (4 + фл ) 2(1+ зс')+ *

+ 4 С „ ( 4 + ф,С „ )-4 Ф ,^ (1 + Ф С |;+ Ф 'Й ). (5.70)

Здесь выражение, стоящее под радикалом, представляет собой уточненное значение параметра А формулы (5.68).

Таким образом, зависимость (5.68) можно записать в виде

- ■ - к * * -

зю

Введя значение параметра А' (вместо Л) в уравнение (5.69), по­

лучаем уточненное выражение для а* » соответствующее случаю

использования трех свободно назначаемых параметров (х, Cv, Cs)

~ Y А +(бФ ?+4ФФ 5а + 34Ф?а2+24Ф 404 —4Ф^02 . (5.71)

РVn

Выражение (5.70) использовано для составления номограммы «гарантийной поправки», включенной в «Указания по определению расчетных ги­ дрологических характеристик» СН 435-72.

Эта номограмма представлена на рис. 5.13. При построении номограммы использо­ вано уравнение (5.70) в виде

У п

V А ' = f (Сv, Р).

В ранее существовавшем норматив­ ном документе для расчета максималь­ ных расходов воды (ГОСТ 3999/48) ис­ пользовалась номограмма, построенная на основании формулы (5.68). Е. Г. Блохинов предложил более простое по струк­ туре выражение для средней квадратиче­ ской ошибки ординат биномиальной кри­ вой распределения при CS = 2CV

формулы (5.72) можно получить выраже­ ние для коэффициента вариации выборочных ординат кривых обес­ печенности

Точность расчета средних квадратических ошибок выборочных ординат кривых обеспеченности целесообразно оценить, опираясьна материалы статистического моделирования. Результаты такой оценки, представленные в табл. 5.2, показывают, что средние ква­ дратические ошибки выборочных ординат кривых обеспеченностей

3 1 1