cato
Рис. 5.10. Кривые обеспе ченности выборочных ко эффициентов асимметрии по данным моделирован ных методом_ Монте-
Карло рядов (х=1; С„ = = 0,3; Cs= 0,6) с различ ными коэффициентами корреляции между смеж ными членами ряда.
1— г=0,3; 2— г—0,5; 3 — г = = 0 ,7 ; 4 — г=0,9.
(формула Блохинова Е. Г.),
(л + 4 4- 4Су) (1 4~ |
£ |
(5.61) |
Сs несм |
s выб |
(формула А. Ш. Резниковского, учитывающая влияние междуряд ной корреляции г на смещенность выборочных коэффициентов асим
метрии).
Приведенные формулы справедливы для случая, когда в исход ном распределении CS = 2CV. Для оценки точности формул сопоста вим величины Csвыб, полученные по этим зависимостям, с результа
тами оценок методом статистических испытаний при CS = 2C„. Эти сопоставления показывают, что формула (5.61) достаточно
хорошо соответствует материалам статистических испытаний при CS = 2CV. Более общее решение в отношении оценок смещенности
коэффициентов асимметрии при различных величинах отношений Cs/Cv, объемов выборок п и коэффициентов внутрирядной корреля ции содержат графики связи смещенных и несмещенных оценок Cs,
построенные для Cs/Cv = 1, 2, 3, 4; п = 10, 25, 50, 100, 200, 50 000;
г= 0,0; 0,3; 0,5 и, кроме того, для выборок, смоделированных с ис пользованием биномиального распределения и распределения Криц- кого—Менкеля. Материалы статистического моделирования пока зывают, что величина смещения выборочных коэффициентов асим метрии возрастает с увеличением параметров исходного ряда: Cs, Cs/Cv, г и уменьшением объема выборки п.
Построения на рис. 5.11 позволяют исключить отрицательные смещения выборочных коэффициентов асимметрии.
Случайное рассеивание выборочных коэффициентов асимметрии определяется средним квадратическим отклонением или коэффи
циентом вариации выборочных коэффициентов асимметрии (С« ) S
и коэффициентом асимметрии ряда выборочных коэффициентов асимметрии (CSc ).
Для оценки величины стандартного отклонения выборочных ко эффициентов асимметрии в гидрологии обычно используется теоре тическая формула Крицкого—Менкеля [78], соответствующая рядам с CS = 2CV, не обладающим внутрирядной связанностью
(г=0)
(5.62)
На основании материалов статистического моделирования для рядов, имеющих соотношение CS = 2C„ и г= 0, Резниковский [37] выражение для aCs представил в виде
(5.63)
зоз
Рис. 5.11. Графики зависимостей Cs=
= / (Чь,б)' П0ЛУ-
ценные с использо ванием метода ста
тистических |
испы |
таний |
при |
различ |
ных |
отношениях |
С8/Си = 2; |
4, |
при |
различных |
г,-, i+1 = |
= 0,0; |
0,3; |
0,5, при |
различных объемах выборок п= 10, 25, 50, 100, 200, 50 000
для биномиального распределения.
а—CS=2C„, б—С8=2С„.
в—^ =2С„,
г—CS=4CV, д—CS=4C„,
е—с.-*св.
В том случае, когда рассматриваются ряды, состоящие из мо-
°с
дульных коэффициентов Cv = о, и учитывая, что CVq = — — . за'
висимости (5.62) и (5.63) можно выразить через Cv. Сопоставление величин Cv„ , вычисленных по формулам (5.62)
и (5.63) и полученных методом статистических испытаний для слу
чая |
CS = 2CV и г = 0, |
свидетельствует, |
что формула |
(5.63) для слу |
чая |
CS = 2CV хорошо |
согласуется с |
материалами |
статистического |
моделирования, которые и были использованы при ее построении. Иные соотношения указанных параметров формула (5.63) не охва тывает, и поэтому оценку случайных ошибок выборочных коэффи циентов асимметрии в таких случаях целесообразно производить, опираясь на результаты, полученные методом статистических испы таний при CS^ 2 C V.
Коэффициенты асимметрии выборочных коэффициентов асим метрии, как правило, положительны и невелики. Отмечается неко торое увеличение положительной асимметрии в распределении вы борочных Cs с увеличением исходных Cv и Cs/Cv и уменьшение
с увеличением коэффициента корреляции между смежными чле нами ряда.
§ 6
оценка выборочных ординат кривых обеспеченностей
В предыдущем параграфе рассмотрены оценки параметров, по лученных по статистическим выборкам, или так называемых выбо рочных параметров распределений. Приведенные данные позволяют в наиболее полной форме выяснить смещенности и случайные рас сеяния выборочных параметров при разных исходных законах рас пределения, различных объемах выборок и при различных коэффи циентах корреляции между смежными членами ряда. Очевидно, что смещенность оценок параметров (Cv, Cs) статистических выборок
должна проявиться в смещенности выборочных ординат кривой обеспеченности, а случайное рассеивание выборочных параметров соответственно должно сказаться на случайном рассеивании выбо рочных ординат кривой обеспеченности. Оценка выборочных орди нат кривой обеспеченности в отношении их смещенности и случай ного рассеивания представляет особый интерес для гидрологических расчетов, поскольку конечной расчетной характеристикой в гидро логии обычно является ордината кривой обеспеченности. Общее представление о смещенности, случайном рассеивании и асиммет рии выборочных ординат кривых обеспеченностей для Р = 0,001; 1,0; 25; 50; 75; 99,9% дает рис. 5.12.
Представленные на рис. 5.12 кривые обеспеченности построены следующим образом. Вначале по методу статистических испытаний
была образована генеральная совокупность, включающая 15 000 чле
нов и имеющая параметры: х=1,0, С„ = 0,3, Cs= 0,6 с корреляцией между смежными членами ряда г= 0,3. Эта генеральная совокуп ность была разбита на 600 выборок объемом в 25 членов. Для ка
ждой выборки методом моментов определены параметры х, Cv, Cs.
На основании указанных трех свободно назначенных параметров было построено 600 выборочных кривых обеспеченностей, которые использованы для определения величины хр различной обеспечен ности. Очевидно, что для каждого фиксированного значения Р было получено 600 величин хр. По этим данным и построены представлен
ные на рис. 5.12 кривые обеспеченностей, очертание которых опре деляется расположением соответствующих точек на графике (эмпи рические кривые обеспеченностей). Наличие 600 величин хР для каждого значения Р позволило определить параметры кривых обес
печенностей величин хР (хр, Cv , Cs ) и на основании их пост-
роить аналитические (биномиальные) кривые обеспеченностей, ко торые достаточно хорошо согласуются с эмпирическими кривыми обеспеченностей. Это сопоставление показывает, что для построе ния рассматриваемых кривых обеспеченностей при обобщении ма териала метода статистических испытаний можно опираться лишь на аналитические кривые обеспеченностей, определяемые по трем параметрам, не осуществляя построение эмпирических кривых обес печенностей. Целесообразность такой операции рассмотрена ранее.
оценка смещенности выборочных ординат кривых обеспеченностей
В гидрологической литературе впервые наличие смещенности выборочных ординат кривых обеспеченностей отмечено Е. Г. Блохиновым [20]. Этот вывод основывался на анализе рядов, смодели рованных методом статистических испытаний. При выполнении моделирования исходные значения коэффициентов вариации прини мались равными С„ = 0,5 и 1,0, отношение Cs/Cv = 2, выборки вклю
чали 25 или 50 членов, число выборок 100. Рассматривались ряды, не обладающие внутрирядной связанностью.
В последующем 3. Ф. Волкова [39] число выборок довела до 1000. Выборки при этом включали 25, 50 и 100 членов, а исходные значения коэффициентов вариации принимались равными 0,25; 0,50; 1,00. Исследование было выполнено применительно к рядам, имею щим отношение CsfCv— 2 и не обладающим внутрирядной связан
ностью.
Результаты оценки смещенности выборочных ординат кривых обеспеченностей на основании более полной информации, в частно сти учитывающей внутрирядную корреляцию, показывают, что сме щенность выборочных ординат кривой обеспеченности обычно не велика. В области малых обеспеченностей она отрицательна, а при больших обеспеченностях — положительна. Величина смещенности
