Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

при заданном х. Аналитически величина рассеивания описывается

зависимостью (6.9). Величина дисперсии, характеризующей функ­ ции у, является постоянной, не зависящей от Xi, поэтому выражение (6.9) дает оценку рассеивания величины у как для сечения, отно­

сящегося к фиксированному значению х,-, так и для всего уравне­ ния регрессии в целом. Линия cd делит пополам горизонтальные хорды, параллельные оси х.

Линии ab и cd, соответствующие уравнениям (6.11) и (6.12), как

указано выше, совпадают лишь для функционально связанных ве­

где у iu — наблюденная величина; с/р — величина, рассчитанная по

уравнению регрессии.

С использованием коэффициента корреляции выражение (6.13) приводится к виду

(6-14)

Здесь Оу0— среднее квадратическое отклонение исходного ряда

величин у (функция); г — коэффициент корреляции уравнения ре­

грессии.

Выражение (6.14) показывает, что, например, при г= 0,95 сред­ нее квадратическое отклонение величин, полученных по уравнению регрессии, составляет 0,32 а Уо, т. е. рассеяние этих величин умень­

числением двух параметров уравнения регрессии. Эта операция приводит к не­ которому различию в оценках по формулам (6.13) и (6.14), что не имеет доста­ точных оснований.

322

Рассматривая параметры b и а как варьирующие величины, из­

меняющиеся от выборки к выборке, точность выборочных оценок можно охарактеризовать значениями соответствующих стандарт­ ных ошибок

близкое к нормальному с оа,

°У 1 - /-2

(6.16)

Используя для построения линии регрессии значения парамет­ ров а и Ь, обладающие указанными случайными ошибками, мы до­

пускаем погрешность в оценке ординаты линии регрессии. Эта по­ грешность может быть охарактеризована значением соответствую­ щей дисперсии (квадрата стандартной ошибки):

2

Дисперсия ) характеризует рассеивание ординат выбороч­

ной линии регрессии относительно линии регрессии, соответствую­ щей генеральной совокупности.

Рассмотрим вопрос о точности выборочных оценок коэффици­ ента корреляции.

В работе В. И. Романовского [111, стр. 391] выводится формула средней квадратической ошибки коэффициента корреляции

которая при достаточно больших п ( п > 25) записывается в наибо-

лее часто встречающемся виде

Когда п достаточно велико и г не слишком близко к единице,

распределение выборочных коэффициентов корреляции стремится к нормальному закону с центром распределения, равным г, и сред-

1 — г2

ним квадратическим отклонением ог= — —. При постоянном п in —7

ции, рассчитанный по выборке конечного объема п, в среднем

всегда меньше коэффициента корреляции генеральной совокупно­ сти, т. е. выборочные коэффициенты корреляции имеют отрицатель­ ное смещение. Это смещение уменьшается с увеличением п.

Нормальное распределение выборочных коэффициентов корре­ ляции приблизительно сохраняется, когда п не слишком мало и г не слишком велико. Во всех остальных случаях (при малом п и больших г) распределение выборочных г асимметрично.

Для коэффициентов корреляции, полученных по выборкам из распределения, отличного от нормального, закон распределения вы­ борочных г, вообще говоря, неизвестен, и следовательно, оценка эм­

пирического коэффициента корреляции затруднена. При малых объ­ емах выборок (п<50) и особенно при больших г для оценки слу­

чайного рассеивания выборочных коэффициентов корреляции обычно используется преобразование Фишера, основанное на ис­ пользовании специальной переменной г, функционально связанной с г выражением

По значениям oz, используя данные табл. 6.1, можно найти ве­ личину ог и далее, опираясь на закон нормального распределения,

установить, в каких пределах заключены выборочные значения ко­

324

эффициентов корреляции при разных уровнях доверительной веро­ ятности.

Частным случаем применения преобразования Фишера является график, приведенный на рис. 6.2.

Одной из важных задач гидрологических расчетов, решаемых с использованием аппарата линейной корреляции, является приве­ дение параметров рядов гидрологических величин, определенных по имеющейся короткой вы­ борке, к многолетнему пе­ риоду. Физической основой такого решения является синхронность, наблюдаемая в колебаниях исследуемой гидрологической величины и какой-либо гидрометеороло­ гической характеристики, корреляционно связанной с этой величиной. При этом имеется в виду, что характе­ ристика (аргумент) зафик­ сирована в течение более продолжительного периода, чем интересующая нас ги­ дрологическая величина (функция).

Статистические связи синхронных наблюдений мо­ гут быть использованы в следующих двух видах. Од­ на форма использования ста­ тистической связи заключа­

ется в восстановлении интересующей нас гидрологической величины за весь период, по которому имеются данные о величине аргумента. Второе направление основано на использовании корреляционных уравнений, устанавливающих связь между значениями статистиче­ ских параметров (среднего и стандарта) на объекте, в отношении которого выполняется операция приводки, и объекте-аналоге.

Используя первый путь, мы как бы удлиняем короткий ряд, включая в него значения, вычисленные по уравнению регрессии. Такой восстановленный ряд позволяет определить его параметры, соответствующие периоду наблюдений на объекте-аналоге (сред­ нее значение, изменчивость), но, кроме того, содержит дополни­ тельную информацию о чередовании в многолетнем разрезе лет различной водности.

Следует, однако, иметь в виду, что такой восстановленный ряд не точно воспроизводит наблюдавшиеся в прошлом значения рас­ сматриваемой характеристики. Дело заключается в том, что вели­ чины функции (в данном случае восстановленной величины у),

получаемые по уравнению регрессии, представляют собой среднее

325

значение из множества реализаций при фиксированном значении аргумента х,-. Действительные же индивидуальные значения функ­ ции у более или менее значительно отклоняются от линии регрес­

сии. Замена этих рассеивающихся вокруг линии регрессии величин их математическим ожиданием и приводит к тому, что восстанов­ ленный ряд отличается от действительного сглаженностью колеба­ ний. С. Н. Крицкий и М. Ф. Менкель [82] указывают, что действи­ тельное значение коэффициента вариации рассматриваемой гидро­ логической величины (С„) равно С'/г, где С' — коэффициент

вариации, полученный по ряду, восстановленному с использованием уравнения регрессии, а г — коэффициент корреляции уравнения ре­

грессии. Аналогичным образом, чтобы в удлиненном ряду сохра­ нить общий характер колебаний переменной у, выражаемый дей­

ствительным значением коэффициента вариации С„, следует уве­

грессии к случаю, когда r= 1, что равносильно использованию так

называемого «единого» решения, отвечающего уравнению

°дг при котором линии регрессии у по х и х по у совпадают. Подобный

результат получается также при применении так называемого спо­ соба Г. П. Иванова. Сущность его заключается в том, что на изу­

тождественной операции, различающейся лишь внешним оформ­ лением.

При асимметричных законах распределения вероятностей прием Иванова более правомерен, так как величины Рх ., полученные по

эмпирической кривой обеспеченности, отражают и свойственную ей асимметрию.

Следует иметь в виду, что при низких значениях коэффициента корреляции ряды, восстановленные с учетом поправки, равной 1/г, не отражают колебания рассматриваемой величины за конкретный отрезок времени, к которому относятся используемые при расчете наблюдения за колебаниями аргумента х.

Восстановленная часть ряда становится некоторым типовым примером, передающим лишь характер свойственных рассматри­ ваемому ряду колебаний, а не воспроизводящим их в конкретный календарный отрезок времени.

3 2 6