Для осуществления приводки к многолетнему периоду лишь статистических параметров (без удлинения ряда по соответствую щим значениям объекта-аналога) используются следующие урав нения, предложенные Крицким и Менкелем [82]:
yN= Уп+ г *XN (*,v - х п), |
(6.21) |
|
О |
|
|
|
|
|
( 6. 22) |
Здесь yN, xN— средние |
значения |
соответствующих |
величин |
за периоды N (многолетний |
период |
наблюдений на объекте-ана |
логе); Хп, уп — средние значения за короткий период п на объекте, для которого выполняется операция приводки; ау и ах — оценки стандартов у и х за те же периоды; г — коэффициент корреляции между одновременными значениями у их.
Коэффициент корреляции между оценками дисперсий принят равным г2 на основании известной в математической статистике
приближенной зависимости. Значение дисперсии о2 определяется
Vs
при решении квадратичного уравнения (6.22)
(6.23)
’ N
Для оценки точности полученных многолетних параметров ис пользуются формулы стандартных ошибок:
_ |
+ |
> _ |
г / , |
w r " r > . |
(6.24) |
yN |
- |
Vn |
* |
N |
|
- |
1 |
^ |
1 / 1 |
N ~ n Г4 |
(6.25) |
z y N |
~ |
V2n |
* |
N |
|
Рассмотрим пример, иллюстрирующий порядок применения из ложенных рекомендаций. По материалам наблюдений над годовым
стоком |
р. |
Днепра у г. Смоленска |
(х) |
за |
82 года наблюдений |
(с 1882 |
г.) |
и р. Вязьмы у с. Старая |
(у) |
за |
18 лет (с 1945 г.) по |
строим уравнение регрессии и используем его для удлинения ряда у с. Старая и для приводки параметров 18-летнего ряда к много летнему периоду. График связи за период одновременных наблю дений представлен на рис. 6.3.
Для периода совместных лет наблюдений имеем: 2]*г=134,
£ г / г = 124, л: = 7,4 л/с • км2, г/ = 6,9 |
л/с • км2, £ { X i — х ) |
( у ^ — у ) = 7 3, |
2](^i — x)2 = 58, 2] (Ю— у)2==117, |
огж„ = 1,79, Gy = 2,55. |
Кроме того, |
известно OxN =1,82, xw = 6,9. |
|
|
у л/с км2 |
|
|
Рис. 6.3. График связи годового стока р. Вязьмы у с. Ста рая (у) и р. Днепра у г. Смоленска (х).
На основании этих данных получаем:
|
|
2 (Xi — X) (уI — у) |
73 |
=1,27, |
|
|
|
а у!х~- |
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь = у —ау/хх =6,9 — 1,27 • 7 ,4 = —2,51, |
|
|
г — - |
2 (XI — х) (yi — у)_____ _ |
73 |
|
0,89. |
|
V ^ { x i - x f ^ { y i - - y f |
/5 8 - 1 1 7 |
|
|
|
|
В таком случае уравнение регрессии у по х будет иметь вид |
|
или |
у (аг)= 6 ,9 —}—1,27 (jc— 7,4) л/с • км2, |
|
|
у (л:)=1,27л: —2,51 л/с • км2. |
|
|
|
|
Подобные построения в отношении регрессии х по у приводят
к уравнению
л:(у)=0,62ут|'3,11 л/с • км2.
Условное среднее квадратическое отклонение переменной у
относительно линии регрессии при заданном аргументе равно
. | f |
У (у г — у ) 2 — а 2 (-*/ — х) (уj — у) |
У (.V ), ' у |
|
п |
|
- |
/ |
117 —1,27 ■73 |
=1,24, |
15 |
а по формуле (6.14)
3у« , = 3у УгГ ^ = 2 ,5 5 /Г = О 8 9 5 = 1 120.
Стандартная ошибка свободного члена Ь уравнения регрессии
определяется по формуле
|
|
° У (*), |
1,24 |
=0,29, |
|
|
УТг |
/18 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
ь |
Jy U) |
1,20 |
=0,28. |
|
/ л |
/1 8 |
|
|
Стандартная ошибка коэффициента регрессии равна
|
у (* ). |
1,24 |
=0,16, |
|
V l U t - x ) 2 |
/58 |
|
|
|
или |
|
|
|
"у (х)г |
1,20 |
=0,16. |
|
‘ |
/58 |
|
|
В таком случае результаты расчетов параметров уравнения ре грессии можно представить в следующем виде:
а ± <за= 1,27 i 0,16, b + о^ = —2,51 + 0,29.
Стандартная ошибка ординаты уравнения регрессии по формуле (6.17) выразится так:
. |
т |
/ |
1 |
, (xt - x f _ |
У { * 1 ) |
У < * > У |
|
n - 2 |
- Г |
= |
1 24 V —__ f- |
58 |
|
V |
16 |
+ |
В частности, при x, = 5 |
a - |
' |
У\х) |
=0,50 л/с -км2, при х»= 10 а - =
У\х )
= 0,52 л/с-км2 и при X j = x = 7,4 а-(г) =0,29 = а6, как это и должно
быть.
Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции в данном случае равна
|
1 - |
г2 |
1 - 0,892 |
0,05. |
|
/ / |
т |
/17 |
|
|
Вероятная ошибка равна
sr=0,67ar= 0,03.
Произведем оценку стандартной ошибки коэффициента корре ляции с помощью преобразования Фишера. Для этого по величине коэффициента корреляции /'= 0,89 определяем по табл. 6.1 значе ние функции 2=1,42. Средняя квадратическая ошибка 2 по выра
жению (6.20) равна
Таким образом, в пределах ± о 2 величина z равна:
2в= 2 + з г= 1,42+0,26 = 1,68, 2Н= 2 —аг= 1,42 — 0,26=1,16.
Далее, по гв и z„, используя данные табл. 6.1, находим верхнюю и нижнюю границы г
При использовании формулы (6.18) соответственно имеем:
гв= 0 ,89+0,05=0,94,
гн= 0 ,89 — 0,05=0,84.
Некоторое различие в оценках величин г возникло вследствие того, что при высоких г и малом объеме выборки распределение
выборочных оценок несколько уклоняется от нормального закона распределения.
Воспользовавшись уравнениями (6.21) и (6.23), осуществим
приводку параметров у и оу к многолетнему периоду:
= 6 ,9 + 0 , 8 9 ( 6 , 9 — 7,4)—6,26 л/с • км2,
2,55
2,58 л/с -'км2.
В таком случае Cv |
— = 0,41. |
|
У х ' |
Используя |
полученное |
корреляционное уравнение |
у(х)= |
= \,27х — 2,51, |
ряд величин стока р. Вязьмы можно восстановить |
за весь период, |
за который |
имеются наблюдения по р. |
Днепру |
у г. Смоленска.
Используя ряд, включающий как наблюденные значения, так и
восстановленные по уравнению связи, получаем yN= 6,21 л/с • км2; оуЛ =2,42 л/с-км2; CvyN =0,39. В данном случае различия между
параметрами, рассчитанными по уравнениям (6.21) и (6.23) и по лученными по восстановленному ряду, несущественны, что явля ется следствием тесной связи между величинами стока за период совместных наблюдений (г = 0,89).
§ 3
множественная линейная корреляция
При изучении многофакторных гидрологических процессов и, в частности, при построении расчетных и прогностических схем иногда возникает необходимость установления вида линейной кор реляционной зависимости между несколькими переменными. Для решения этой задачи привлекается аппарат множественной линей ной корреляции. Сущность этого подхода состоит в распростране нии основных положений метода линейной корреляции двух пе ременных на случай зависимости интересующей нас переменной у от произвольного числа аргументов х.
Основой для отыскания такой зависимости служат материалы наблюдений над величиной у и определяющими ее величинами Xi, Хг, . . ., хп. Результаты совместных измерений этих величин можно
представить в виде |
|
|
|
|
|
У\, |
-Хп, |
Х-2\, . . |
xju |
. . • , |
x nl |
У'2, |
-*42, |
Х22, ■• |
Xj2, |
. • |
x n2 |
У и х и, Хи, . . •> Xjl, . . •> Xnl
Ут> |
x i f n, |
X 1П, |
. . •} |
Xjm>• *• > Xnm |
У |
Х\ |
Х-2, |
■■- |
*b *• •» x n |
