Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Из уравнения (6.38) следует, что ошибки коэффициентов ре­ грессии (при прочих равных условиях) возрастают с увеличением числа переменных. Учитывая сравнительно небольшую длитель­ ность рядов гидрологических величин, использование для построе­ ния уравнений множественной регрессии более четырех перемен­ ных приводит к получению малонадежных коэффициентов регрес­ сии и менее статистически устойчивых решений.

Общее выражение средней квадратической ошибки коэффици­ ента регрессии (kj) применительно к случаю трех переменных за­

пишется в виде:

Возможность использования аппарата множественной линей­ ной корреляции в практике гидрологических исследований появи­ лась в связи с применением ЭВМ. В частности, программа, со­ ставленная на языке АЛГОЛ’-бО, применяется в ГГИ для исследо­ вания зависимостей между многими переменными применительно к задаче приведения коротких гидрологических рядов к длитель­ ному периоду и для решения других задач, опирающихся на стати­ стические связи многих переменных.

Учитывая, что ряды наблюдений за характеристиками гидро­ логического режима обычно имеют разную длительность и пропу­ ски наблюдений, программой предусматривается задание исходной информации в такой ситуации путем заполнения отсутствующих данных нулями. Программой предусматривается автоматический поиск наиболее эффективных независимых переменных и вос­ становление по этим переменным отсутствующих данных наблю­ дений.

1 Программа составлена М. В. Зориным.

§4

применение метода множественной линейной корреляции для приведения коротких гидрологических рядов

к длительному периоду

Рассмотрим порядок приведения к многолетнему периоду ве­ личин годового стока с использованием рек-аналогов на примере р. Свири у с. Мятусово. В качестве аналогов принимаем р. Вуоксу — X ГЭС (xi) и р. Неву у г. Петрокрепости (х2).

На р. Свири у с. Мятусово имеются наблюдения за периоды 1881—1940 и 1945—1951 гг. Для иллюстрации методики построе: ния уравнения регрессии полагаем, что в этом пункте имеются све­ дения о годовом стоке лишь за 20 лет (1928—1940 и 1945—1951 гг.) совместных наблюдений по всем трем рассматриваемым рекам. Опираясь на данные совместных наблюдений за указанные 20 лет, находим следующие значения парных коэффициентов корреляции: гух, = 0,74; гУх2= 0,88; гж,х.г= 0,55. В таком случае определитель (D)

и его миноры будут равны:

Подсчет средних значений и средних квадратических отклоне­ ний исходных рядов дает следующие оценки:

Коэффициенты регрессии уравнения связи равны:

1,71 • 0,26 = 0,32,

1,96 • 0,70

1,71 • 0,47

k-i= 1,58 • 0,70 = 0,73.

338

Имея указанные исходные данные, строим уравнение регрессии в виде

Средние квадратические отклонения коэффициентов регрессии k\ и k2 по формулам (6.39) и (6.40) равны:

0,63

=0,09,

1,96 Y (20 — 2) (1 - 0.552)

1 ,5 8 /(2 0 - 2) (1 -0,552)

Полученные значения а , ок свидетельствуют о достаточной

надежности коэффициентов регрессии.

Уравнение регрессии (6.41) использовано для расчета величин годового стока р. Свири у с. Мятусово за период 1859— 1958 гг., т. е. за весь период, по которому имеются наблюдения в пунктаханалогах. Из восстановленного за указанный период ряда величин годового стока произведены выборки для отдельных отрезков вре­ мени. Средние значения и коэффициенты вариации наблюденных и восстановленных отрезков рядов приведены в табл. 6.2. Приве­ денное в табл. 6.2 сопоставление рассчитанных значений с наблю­ денными выполнено с целью оценить точность уравнения, исполь­ зуемого для приводки. В практических задачах приведения, очевидно, такое сопоставление не может быть выполнено. Сопостав­

Наблюденные и рассчитанные с использованием корреляционного уравнения средние значения и коэффициенты вариации годового стока р. Свири

у г. Мятусово за различные периоды

Более полную форму использования множественной линейной корреляции рассмотрим на примере приведения годового стока р. Сож у г. Славгорода с использованием 8 аналогов, представлен­ ных в табл. 6.3.

Отметим, что фактически наблюдения за годовым стоком р. Сож у г. Славгорода велись в течение длительного периода (1897— 1968 гг.), и поэтому излагаемая ниже схема приводки примени­ тельно к этому створу имеет лишь методическое значение. Изла­ гаемые ниже расчеты, и в том числе выбор эффективных аналогов,

м л /с км2

Рис. 6.4. Многолетние колебания годового стока р. Свири у с. Мятусово.

I—наблюденные данные; 2—восстановленные по уравнению регрес­

сии.

Т а б л и ц а 6.3

Сведения о реках-аналогах, использованных для выполнения операции приведения годового стока р. Сож у г. Славгорода к многолетнему периоду

340

выполнены на электронной вычислительной машине М-220. При выполнении излагаемого ниже методического исследования при­ нято, что период совместных наблюдений на р. Сож и на рекаханалогах составляет 12 лет (1957—1968 гг.).

Программой предусматривается составление уравнений мно­ жественной линейной регрессии зависимой переменной (пункт при­ ведения) со всеми независимыми переменными (пункты-аналоги). При этом осуществляется перебор всех возможных сочетаний пунк­ тов-аналогов, что приводит к построению Ch уравнений, где п —

общее число пунктов-аналогов, использованных при построении уравнений, k ■— число аналогов, использованных для построения от­

дельных уравнений. В рассматриваемом случае число аналогов

Следовательно, число уравнений с одним аналогом равно С*= 8, с двумя аналогами — С28—28, с тремя аналогами — С| = 56, с че­ тырьмя аналогами — С*=70, с пятью — С^=56, с шестью — С®=

= 28 и семью аналогами — С^=8. Из построенных указанным об-

разом уравнений для непосредственного использования отбирались

k ’

те, у которых — —7=j2, т. е. уравнение регрессии признается надеж-

0,13

ным, если средняя квадратическая ошибка коэффициента рег­

рессии в 2 раза меньше абсолютной величины коэффициента рег­ рессии.

Если в каком-либо уравнении хотя бы в отношении одного ко-

в рассматриваемом примере приведения годового стока к длитель­ ному периоду не прошло ни одно уравнение регрессии с четырьмя и более аналогами. Из 56 уравнений с тремя аналогами (4 пере­ менных) по этому признаку прошло лишь три уравнения; из 28 урав­ нений с двумя аналогами прошло восемь и, наконец, с одним анало­ гом прошли все восемь уравнений.

341