Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

ветствуют данным работы [58, 59]. Пики и ложбины спектраль­ ных функций, как правило, обеспечены одной, максимум, двумя точками, что указывает на их малую значимость. Лишь некоторые наиболее выдающиеся пики выходят за пределы доверительных границ при 5%-ном уровне значимости.

После сглаживания спектральных функций по формуле Хаминга некоторые пики практически исчезают. Так, в некоторых слу­

с подобными циклами, полученными автокорреляционным анали­ зом и при сглаживании колебаний годового стока. Во всех случаях в общих чертах выделенные циклы разной продолжительности со­ впадают.

Циклы, полученные по спектральным функциям, несколько лучше совпадают по продолжительности с циклами сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального филь­ тра. Как в первом, так и во втором случаях отмечается цикл про­ должительностью 18 лет. По автокорреляционным функциям выде­ лялся цикл с наибольшей продолжительностью 25 лет. На некото­ рую искусственность данного цикла указывалось при описании автокорреляционных функций. Циклы продолжительностью 11, 8 и 5 лет также совпадают как при спектральном анализе, так и при использовании метода последовательного парного осреднения ис­ ходных колебаний годового стока. Несколько худшее совпадение продолжительности циклов наблюдается при использовании авто­ корреляционных функций.

Циклы продолжительностью менее 5 лет, выделенные по’ спек­ тральным функциям, не наблюдаются в сглаженных колебаниях годового стока, что объясняется исключением высоких частот (цик­ лов короткой продолжительности) в последнем случае.

Представляет определенный интерес рассмотреть спектральные функции, рассчитанные по сглаженным колебаниям годового стока с использованием биномиального фильтра, базирующегося, как и ранее, на 11 членах исходного ряда. Спектральные функции дина­ мических средних представлены на рис. 7.22. Как видно на этом рисунке, по всем рассматриваемым створам наблюдений отмеча­ ется наиболее интенсивный пик при пг = 3, что соответствует про­

должительности цикла 18 лет. Этот цикл наиболее четко представ­ лен в ходе колебаний динамических средних. Цикл при т = 5 (про­

должительность 11 лет) хорошо представлен в среднем и нижнем течении р. Днепра. В верхнем же течении (р. Днепр у городов Смоленска и Орши) этот цикл отсутствует. На некоторое несов­ падение хода колебаний динамических средних. годового стока по этим створам наблюдений указывалось ранее. И, наконец, по­ всеместно отмечается цикл со средней продолжительностью 8 лет (т = 7). Дальнейший ход колебаний спектральных функций быстро

затухает с небольшими пиками при т = 10 и. 12 (продолжитель­ ность цикла примерно 5 лет).

406

Сглаженные спектральные плотности динамических средних имеют, как правило, один пик при т = 3 ( 7=18 лет). Лишь в верх­

Таким образом, спектральные функции сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального фильтра более четко по сравнению со спектральными плотностями годового стока представляют низкие частоты (циклы большой продолжительно­ сти). Высокие же частоты в спектральных функциях динамических средних годового стока отсутствуют, что объясняется исключе­ нием этих частот при фильтрации годового стока. Этот вывод мо­ жно было бы получить ранее, используя частотную характери­ стику применяющегося фильтра, представленную на рис. 7.8.

Спектральная функция сглаженных колебаний годового стока может быть представлена в виде

5* (со )= |/? И Р З Д ,

где R (to) — частотная характеристика фильтра; S* (со) — спектраль­

и 510 (рис. 7.21). Продолжительность циклов в данном случае равна

4^-= 18,333; ^ -= 7,857 и -§-=4,583.

2л;

Определяем интересующие нас частоты по формуле со = —=—:

Далее снимаем с рис. 7.8 для 7=11 значения частотных харак­ теристик биномиального фильтра для полученных частот R(cot) =

= 0,86, 7?(шг) =0,44 и 7?(соз) =0,07. Возводим эти значения частот­

ные значения квадратов частотных характеристик фильтра на со­ ответственные значения функции спектральной плотности годового стока, получаем ординаты спектральной функции сглаженных ко­

12 вполне удовлетворительно соответствуют рассчитанным ранее значениям, которые представлены на рис. 7.22.

Аналогичным образом можно осуществить пересчет спектраль­ ной функции исходного ряда наблюдений через частотную харак-

408

теристику фильтра в спектральную функцию сглаженных колеба­ ний рассматриваемого ряда наблюдений во всем диапазоне ча­ стот, что освобождает исследователя от проведения громоздких расчетов по определению спектральной функции сглаженных ко­ лебаний. Больше того, во многих случаях ставится задача фильтра­ ции исходных колебаний в заданном диапазоне частот. Используя частотные характеристики фильтров, можно заранее подобрать не­ обходимый фильтр, который будет исключать неинтересующие ис­ следователя частоты, предвидя изменения спектральной плотности, которые внесет применяемый фильтр.

Задача нахождения степени совпадения фаз колебаний циклов различной продолжительности двух рядов решается на основе ис­ пользования взаимных спектральных функций. В этом случае со­ впадение фаз колебания определяется по выражению (7.24), со­ держащему величины коспектра (С0) и квадратурного спектра (Qft): коспектр представляет собой меру вклада колебаний различ­ ных частот в общую взаимную корреляцию между двумя рядами, квадратурный спектр является вкладом колебаний различных гар­ моник в общую взаимную корреляцию между двумя рядами при сдвиге всех гармоник одного ряда относительно другого на чет­ верть периода.

Расчеты коспектра и квадратурного спектра не приводятся, так как они не имеют самостоятельного значения. Поэтому сразу перейдем к оценке фаз колебаний различных частот. Заметим, лишь, что диапазон колебаний выборочных оценок коспектра и квадратурного спектра также достаточно велик, а теоретические оценки указывают на незначимость их колебаний в подавляющем числе случаев. В общем этот вывод не является неожиданным, если учесть, что подобные заключения были сделаны ранее по отношению к автокорреляционным функциям, взаимным корреля­ ционным функциям и, наконец, спектральным функциям годового стока рек бассейна Днепра.

Результаты расчетов разности фаз колебаний циклов различ­ ной продолжительности между годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и в других створах наблюдений за годовым стоком рек бассейна Днепра представлены в табл. 7.5.

Аналогичные расчеты произведены также для сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального фильтра.

Из данных табл. 7.5 следует, что разность фаз циклов раз­ личной продолжительности как для рядов годового стока, так и для рядов динамических средних изменяется незначительно: пре­ имущественно в диапазоне 0—30°; в отдельных случаях эта раз­ ность достигает 80—90°. Подметить какую-либо ■закономерность в ходе колебаний разности фаз для циклов различной продолжи­ тельности не удалось.

Сравнительно небольшие значения разности фаз, видимо, свя­ заны с высокой корреляцией между годовым стоком рассматри­ ваемых рек. В ходе колебаний динамических средних (см. рис. 7.9)

410

Т а б л и ц а 7.5

Разность фаз между годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и в других створах наблюдений (в град.)

411

вого стока, в знаменателе — по рядам динамических средних.

также видно, что разность фаз циклов различной продолжитель­ ности очень мала.

Произведенные расчеты коспектра, квадратурного спектра, ко­ герентности и разности фаз между сглаженными колебаниями го­ дового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и числами Вольфа показали, что все эти расчетные характеристики изменя­ ются в зависимости от продолжительности выборки и начала от­ счета, отражая случайные флуктуации выборочных данных годо­ вого стока. Это обстоятельство не является неожиданным, если учесть изменения /?qw(t), представленные на рис. 7.17, которые лежат в основе последующих расчетов спектрального анализа.

412