Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Наличие корреляции между смежными членами годового стока широко используется в многолетнем регулировании речного стока, при оценке выборочных параметров распределения и при решении других вопросов, связанных с расчетами речного стока.

Эмпирические корреляционные функции успешно используются при исследовании ветрового волнения, при изучении турбулентных пульсаций речного потока и при решении многих других гидроло­ гических вопросов.

§ 4

анализ спектральных и взаимных спектральных функций (на примере многолетних колебаний речного стока)

Статистическое описание процесса в виде эмпирического спект­ рального анализа применяется в самых различных отраслях науки и техники, в частности для исследования многолетних колебаний

пытка моделирования рядов годового стока по их спектральным плотностям (функциям). В некоторых работах отмечается, что эмпирические спектральные функции при расчетах по рядам раз­ личной длительности изменяются в меньшей мере, чем эмпириче­ ские автокорреляционные функции. Однако непостоянство эмпи­ рических автокорреляционных функций, рассчитанных по выбор­ кам различной длительности, должно привести к аналогичному непостоянству и спектральных функций, так как последние явля­ ются преобразованными автокорреляционными функциями. Про­ верка степени постоянства спектральных функций, рассчитанных по выборкам различной длительности и с различным нулевым от­ счетом, осуществлена, как и для автокорреляционных функций, на примере годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Ре­ зультаты расчетов представлены на рис. 7.19.

Применительно к рассматриваемой задаче отметим, что спектр временного ряда показывает вклад колебаний разных частот в его общую дисперсию.

По оси абсцисс на рис. 7.19 отложены номера гармоник, кото­ рые выражают число полных циклов за интервал 7, по которому осуществлены расчеты (для многолетних колебаний — число лет наблюдений, принятых при расчете спектральной функции). При исследовании временных рядов обычно осуществляют переход от

Спектральные функции рассчитывались по отрезкам времен­ ного ряда различной длительности и с различным нулевым от­ счетом. При анализе рис. 7.19 не представляется возможным вы­ явить какую-либо закономерность в ходе колебаний циклов раз­ личной продолжительности, которую можно было бы отнести к процессу колебания годового стока в целом (т. е. для генераль-

S(m )-103

Рис. 7.19. Спектральные функции годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, рассчитанные по выборкам различной длины.

ной совокупности). Действительно, с изменением как нуля от­ счета, так и продолжительности выборки спектральные функции при всех принятых частотах изменяются в довольно большом диа­ пазоне. Следовательно, спектральные функции, рассчитанные по выборкам ограниченной длительности, отражают лишь свойства этих выборок и не являются характеристиками генеральной сово­ купности. Аналогичный вывод ранее был сделан при анализе авто­ корреляционных функций годового стока р. Днепра у пгт Лоцман­ ской Каменки. Этот вывод согласуется с теорией выборочных коле­ баний спектральных оценок, которая показывает, что выборочные

40 2

флуктуации велики при расчете по рядам ограниченной длитель­

ности (50—150 лет).

В настоящее время имеется ряд методов по выборочным оцен­ кам спектральной функции. Приведем лишь один пример оценки спектральной плотности, произведенной в работе [91]. Допустим, что спектр генеральной совокупности известен. Спектральные функ­ ции, рассчитанные по выборочным данным, будут отклоняться от спектра генеральной совокупности. Распределение выборочных спектральных оценок подчиняется приблизительно распределению величины х2, деленной на число степеней свободы, равное

где т — число использованных запаздываний; N — число лет на­

блюдений, принятых в расчет спектра.

Подобная оценка спектральной плотности, строго говоря, спра­ ведлива для рядов наблюдений, подчиняющихся нормальному за­ кону распределения.

Рассмотрим численные примеры оценки спектральной плотно­ сти. Примем N = 60 лет наблюдений за годовым стоком и зада­ димся для простоты расчетов т = 10 и 20. В первом случае число

степеней свободы равно

во втором случае

Верхняя доверительная граница %2 при 5%-ном уровне значи­

мости примерно равна 20 и 12 соответственно [89]. При 5%-ном уровне величина %2, деленная на п, соответственно равна 1,7 и 2,2.

За нулевую гипотезу примем спектральную плотность, равную постоянному значению 170, что соответствует приблизительно сред­ нему значению спектральной интенсивности при всех т. В таком

случае верхние доверительные границы спектральной функции при т = 10 и т = 20 будут равны соответственно 1,7- 170— 290 и 2,2Х X 170—370. Так как мы приняли 5%-ный уровень значимости, то за пределы верхней доверительной границы не должно выходить более 5% всех случаев, что мы и имеем по данным расчета спек­ тральных функций при N = 60 (рис. 7.19).

Следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В таком случае отдельные пики эмпирических спектральных функ­ ций незначимо отличаются от предполагаемой спектральной функ­ ции, представленной белым шумом. Аналогичный вывод можно было бы сделать и ранее. При анализе эмпирических автокорре­ ляционных функций был сделан вывод об их незначимых отклоне­ ниях от нуля при т>1, и, следовательно, спектральная плотность

при отсутствии внутрирядных связей не может дать ничего дру­ гого, как постоянное значение спектральной функции (белый шум).

Не определяя больше оценок спектральных функций при раз­ личных N и т и других уровнях значимости, заметим лишь, что

теория этих оценок дает довольно большой диапазон выборочных флуктуаций, спектральных функций. Этот диапазон несколько уменьшается, если пики и ложбины эмпирических спектральных функций будут обоснованы несколькими точками, что соответст­ венно увеличивает число степеней свободы п и, следовательно,

уменьшает возможные колебания выборочных данных. Произведенные оценки выборочных колебаний спектральных

функций, как отмечалось выше, в полной мере применимы, когда исходные ряды нормально распределены. Отклонение колебаний годового стока от нормальных распределений, возможно, не­ сколько изменяет эти оценки. Поэтому целесообразно рассчитать спектральные функции по моделированным рядам, в которых все

параметры распределения {х, Cv, Cs) и связь между смежными

членами ряда использованы по наблюденным данным годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Результаты расчетов спектральных функций по моделированным рядам представлены на рис. 7.20.

Как видно на данных графиках, характер колебаний спектраль­ ных функций моделированных рядов при всех принятых в расчет продолжительностях выборок в общих чертах аналогичен харак­ теру колебаний спектральных функций, полученных расчетом по наблюденным данным (рис. 7.19). Следовательно, вывод о боль­ шом диапазоне выборочных флуктуаций спектральных функций, сделанный ранее теоретическим путем, не претерпевает скольконибудь существенных изменений после расчетов по моделирован­ ным рядам. В таком случае отклонение колебаний годового стока в рассматриваемом створе наблюдений от нормального распреде­ ления не вносит существенных поправок в оценку выборочных ко­ лебаний спектральных функций.

Таким образом, существующая наибольшая продолжительность наблюдений за годовым стоком рек не может дать надежных оце­ нок спектральных функций, так как даже наибольшие пики и лож­ бины этих функций незначимы. Следовательно, эмпирические спек­ тральные функции годового стока отражают лишь свойства на­ блюденного ряда и не являются характеристиками процесса в 'це­ лом (генеральной совокупности).

Этот вывод сделан по данным наблюдений за годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и требует дальнейшей про­ верки на другом эмпирическом материале.

Рассмотрим спектральные функции годового стока рек бас­ сейна Днепра, имеющие наиболее продолжительные ряды на­ блюдений. Заранее заметим, что спектральные плотности будут рассматриваться в качестве характеристик наблюденных данных без экстраполяции их на весь процесс колебаний годового стока. Учитывая непостоянство спектральных функций, рассчитанных по

4 0 4

различным отрезкам временного ряда, все расчеты выполнены за единый период времени 1900—1954 гг., что делает сопоставимыми эмпирические спектральные плотности, полученные по различным створам наблюдений. Результаты расчетов спектральных функций

Рис. 7.20. Спектральные функции моделированных рядов с параметрами распределения и связью между смежными членами ряда по данным

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

а —л = 3 6 , б— л = 6 0 , в— п=96, г — л — 141, д —л = 1 0 0 0 .

сглаженные спектральные плотности. При рассмотрении данного рисунка привлекает внимание совпадение в подавляющем числе случаев пиков и ложбин спектральных плотностей, что объясня­ ется значительной положительной корреляцией между годовым сто­ ком рассматриваемых пунктов наблюдений.

Нибольшие всплески спектральных функций наблюдаются при т = 3, 5, 7, 10, 12 и 16, что соответствует продолжительности цик­ лов 18, 11, 8, 5, 3 года. Полученные циклы в общем хорошо соот-

4 0 5