Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

его подсчета. Вклад малых и больших отклонений Xi от х учиты­

вается одинаково, что несколько снижает ценность этого параметра как меры изменчивости.

Величина средних абсолютных отклонений для годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки оказалась равной 360 м3/с, а для поверхности болотного микроландшафта — 3,6 см.

§ 9

среднее квадратическое отклонение (стандарт), дисперсия, коэффициент вариации

Наиболее часто используемой мерой рассеивания статистиче­ ского ряда относительно средней арифметической его величины яв­ ляется среднее квадратическое отклонение ох ., или стандарт,

/ — »------------

(1.16)

Среднее квадратическое отклонение сохраняет размерность ис­ ходного ряда наблюдений.

В случае использования таблицы сгруппированных данных сред­ нее квадратическое отклонение может быть рассчитано по формуле

где щ — абсолютная частота статистического ряда в t-том интер­

вале.

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дис­ персией.

В некоторых случаях может оказаться полезным вычисление среднего квадратического отклонения, основанного на способе, по­ следовательных разностей,

п —1

2 (xi - xi-n)2

Расчеты по этой формуле не требуют предварительного вычисле­ ния среднего арифметического значения. Необходимо отметить, что мощность среднего квадратического отклонения, вычисленного по формуле (1.18), составляет приблизительно 2/з от вычисленного по выражению (1.16). Поэтому формула (1.18) для определения о

редко используется. Однако она может оказаться полезной, когда

44

в исходном ряду имеют месте циклические или направленные ко­ лебания среднего значения. В подобных случаях в среднем квадра­ тическом отклонении, вычисленном по выражению (1.18), будут ис­ ключены колебания среднего значения, в то время как в среднее квадратическое отклонение, определенное по формуле (1.16), эти колебания среднего войдут.

Рассмотрим общие свойства дисперсии.

1. Если сумму квадратов отклонений ряда наблюдений xt около величины а назвать дисперсией Xi около а

П

то дисперсия а2 достигает наименьшего значения, когда а=х. Это

свойство дисперсии было рассмотрено при описании свойств сред­ ней арифметической.

2.Если некоторая величина yt связана с х» уравнением вида yi =

= axi + b, где а к b — постоянные величины,’ то а2у = ах2а2,’ или иначе

П

2 (x, — b f — (x — b)2.

Это равенство часто используется при вычислении дисперсии. При этом постоянные выбираются таким образом, чтобы разности (Xi — b) были наименьшими, т. е. удобными для вычислений;

3. Рассмотрим очень важное свойство сложения дисперсий, ко­

торое находит применение в гидрологических расчетах и при раз­ работке различных теоретических вопросов статистики.

Общая дисперсия суммы k рядов наблюдений случайной вели­ чины х равна средней арифметической частных дисперсий, сложен­

ной с дисперсией частных средних около общей средней

45

средние арифметические частных совокупностей;

aj : i—1

Л1

— средние квадратические отклонения частных совокупностей; пи п-2 , . . tih — объемы частных совокупностей; х — общая средняя всех

ний, где / пробегает значения от /= 1 до i = rih и от h —1 до h = k\ об- k

щий объем всех данных равен п= 2 пи- h=1

Свойство сложения дисперсий находит практическое примене­ ние, когда несколько распределений соединяются в одно, или на­ оборот, когда одна большая совокупность разделяется на ряд част­

ных, для которых отдельно вычисляются Xh и a2h. Например, в ги­

дрологических расчетах иногда объединяется в одно распределение та или иная гидрологическая характеристика, полученная по от­ дельным рекам (параметры максимального или годового стока). В таком случае общая дисперсия суммарного ряда может быть вы­ числена по известным дисперсиям и средним индивидуальных ря­ дов с использованием приведенного свойства сложения дисперсий.

Некоторые дополнительные свойства выборочной дисперсии бу­ дут рассматриваться в главе V. Здесь лишь укажем без доказатель­ ства, что выборочная дисперсия сколь угодно мало отличается от дисперсии генеральной совокупности, если число членов наблюде­ ний будет достаточно велико. В практических расчетах дисперсии по ряду наблюдений следует пользоваться формулой

которая здесь также приводится без доказательства и которая дает наилучшее приближение выборочной дисперсии к дисперсии гене­ ральной совокупности без систематической ошибки. Заметим, что

46

при л > 30 поправка на постоянное смещение ст2 (вместо п в знаме­ нателе используется п — 1) несущественна. Однако, учитывая не­

сложность введения поправки на смещение а2, предпочтительней всегда пользоваться формулой (1.20) вместо (1.16) — (1.18).

В гидрологических расчетах часто возникает необходимость сравнения изменчивости рядов, образованных из существенно раз­ личающихся по величине гидрологических характеристик. В этом случае средние квадратические отклонения рассматриваемых рядов оказываются несопоставимыми. Например, среднее квадратическое отклонение рядов максимальных в году расходов воды р. Днепра У г. Киева и, допустим, р. Сож у г. Славгорода будет существенно отличаться хотя бы потому, что абсолютные величины этих рядов существенно различаются. Сопоставление изменчивости подобных рядов осуществляется с помощью коэффициента вариации (Cv),

представляющего собой отношение среднего квадратического от­ клонения к среднему значению ряда

( 1-21)

Коэффициент вариации является безразмерной характеристикой изменчивости статистического ряда. Иногда коэффициент вариации

В гидрологических расчетах коэффициент вариации наиболее

где m — абсолютная частота /-той градации.

47

закону нормального распределения, имеет место следующее равен­ ство:

0,8а. (1.24)

Это соотношение может использоваться для приближенной оценки а при известном среднем абсолютном отклонении. Однако

ошибка такой оценки может быть существенной, если рассматри­ ваемый статистический ряд значительно уклоняется от нормаль­ ного.

Важной, хотя и менее употребительной (чем дисперсия и стан­ дарт) характеристикой меры рассеяния статистического ряда отно­ сительно его среднего значения является вероятное отклонение

(Д), определяемое по равенству

Здесь Х25 и *75 — первая и третья квартили.

Очевидно, что между Х75 и х2ь заключается половина членов ста­

тистической совокупности. Иначе говоря, величина А, отложенная

вобе стороны от медианы распределения, определяет те границы,

впределах которых заключена половина всех членов статистиче­ ского ряда. Поэтому для случайно взятого члена статистической со­ вокупности одинаково вероятно оказаться в этом интервале или

вне его. Ясно, что чем ближе к медиане располагаются указанные границы, тем меньше рассеяние статистического ряда. Поэтому Д принимается за меру рассеяния аргумента распределения. Для ус­ ловий нормального распределения Д связано с о постоянным соот­

ношением

Д = 0 ,6 7 4 а .

§ 10

асимметрия и эксцесс

Средние, определяющие центры группирования статистических совокупностей, а также различные меры рассеяния, рассмотренные в предыдущих разделах, еще не полностью описывают основные свойства статистических рядов.

В частности, важной отличительной чертой■распределения яв­ ляется их асимметрия, т. е. различное рассеяние членов ряда отно­ сительно средней или моды. Дело в том, что среди статистических совокупностей можно обнаружить такие, которые имеют одинако­ вые средние арифметические значения и дисперсии, однако группи­

48

рование относительно центра распределения величин, составляю­ щих эти совокупности, может быть либо симметричным, либо асим­ метричным.

В качестве характеристики симметричности (асимметричности) статистического ряда принимается среднее значение кубов откло­ нений членов ряда от его среднего арифметического значения

П

тельно немногочисленные, но большие по величине положительные отклонения и более многочисленные, но менее значительные по ве­ личине отрицательные отклонения. При возведении в третью сте­ пень положительные отклонения возрастут больше, чем отрицатель­ ные, и сумма кубов отклонений окажется положительной.

При отрицательной асимметрии результат будет иметь отрица­ тельный знак.

Чтобы получить безразмерное выражение для характеристики асимметрии ряда, среднее значение кубов отклонений делят на куб среднего квадратического отклонения. Это отношение называется

коэффициентом асимметрии