Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

глава II

основные законы

распределения вероятностей,

применяемые в гидрологии

§ 1

общие сведения

Опираясь на теорию кривых распределения плотности вероят­ ностей, рассмотренные в главе I простейшие приемы систематиза­ ции и обобщения статистических совокупностей могут быть сущест­ венно усовершенствованы и представлены в более общей форме.

Кривые распределения, полученные для различных статистиче­ ских схем, образуют развитую систему математических обобщений, пригодных для описания свойств широкого класса случайных яв­ лений.

Различные типы кривых распределения или опираются на опре­ деленные теоретически сконструированные вероятностные схемы, или представляют собой обобщения статистических закономерно­ стей, свойственных определенным категориям эмпирических сово­ купностей.

Однако в любом случае кривые распределения вероятностей в абстрактном виде отражают реальные статистические закономер­ ности, свойственные массовым случайным явлениям.

Формы выражения законов распределения тесно связаны с де­ лением случайных величин на дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной называется переменная, об­ щая совокупность (множество) которой может быть представлена в форме определенной занумерованной последовательности хи хо, ...

• хп, .... При решении многих практических задач обычно прихо­

дится иметь дело с дискретными величинами, принимающими лишь

55

целочисленные значения. В качестве гидрологических примеров со­ вокупности дискретных случайных величин можно указать на число пересыханий реки в каждом году в летний период, полученное за N лет, на распределение серий маловодных и многоводных лет и др.

При изучении статистических совокупностей природных явлений значительно чаще приходится иметь дело с непрерывными величи­ нами, т. е. с такими, которые могут в результате испытания принять любое значение в пределах рассматриваемого интервала. К таким величинам относятся ошибки измерений и значения элементов сово­ купностей различных характеристик гидрологического режима (расходов воды и наносов, уровней, скоростей течения и т. д.). Оче­ видно, что при описании распределения таких величин принципи­ ально невозможно выписать и занумеровать все их в определенной последовательности, даже в пределах достаточно узкого интервала. Эти величины образуют бесконечное множество. Если при рассмот­ рении совокупности дискретных случайных величин мы можем свя­ зать каждое ее значение хи хг, ..., хп, ■•. с определенной присущей ей вероятностью p(xi), то в случае непрерывной последовательности

случайной величины можно говорить лишь о вероятности попада­ ния ее в заданный (хотя бы и весьма узкий) интервал.

Практически, изучая статистические совокупности принци­ пиально непрерывных случайных величин, оперируют теми прие­ мами группирования и графического изображения статистических совокупностей, которые изложены в главе I.

При теоретическом анализе непрерывных случайных величин вместо эмпирической частоты используется понятие плотности рас­ пределения вероятностей и соответственно вместо эмпирических мо­

ментов— их интегральные выражения.

Применительно к изучению закономерностей распределения со­ вокупности дискретных случайных величин изложим биномиальный

закон и распределение Пуассона, рассматривая его как частный случай биномиального закона. В дальнейшем на основании интер­ поляции распространим исходный биномиальный закон на случай непрерывных величин и таким образом перейдем к так называе­ мому гамма-распределению или кривой Пирсона III типа и к ее модификации, выполненной С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем,

атакже Г. Н. Бровковичем. Имея в виду очень широкое применение

вгидрологии биномиального закона распределения, примем его за основу и при изложении нормального закона распределения. .

Из других кривых распределения рассмотрим уравнения Гуд­ рича и Гумбеля, используемые преимущественно в практике зару­ бежной гидрологии.

Из числа многочисленных преобразований случайной перемен­ ной остановимся несколько подробнее на логарифмическом преоб­ разовании, которое иногда применяется при расчетах стока у нас и за рубежом.

Конструирование обобщенных типовых эмпирических кривых обеспеченностей различных гидрологических характеристик рас­ смотрим на примерах исследований Г. П. Калинина и Л. М. Конар-

56

жевского. Некоторые распределения, имеющие вспомогательное значение при гидрологических расчетах, будут изложены по мере необходимости в других главах. К числу этих распределений отно­ сятся распределения Стьюдента, Фишера, %2 (хи-квадрат) и неко­ торые другие, используемые при выборочном анализе случайных переменных.

Аналитическое выражение кривой распределения, наилучшим образом описывающее эмпирическую совокупность случайных ве­ личин, может быть получено весьма многими способами, число ко­ торых, однако, значительно сократится при выполнении следующих общих условий.

1. Как правило, кривая распределения должна быть основана на определенной стохастической схеме, под действием которой форми­ руется то или иное случайное явление. Так, например, нормальный закон распределения возникает в тех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде суммы (или линейной функции) большого числа независимых между собой эле­ ментарных слагаемых (факторов), каждое из которых в отдельно­ сти сравнительно мало влияет на сумму. Если последнее условие не выполняется и влияние, например, одного из слагаемых, форми­ рующих случайную величину, окажется резко преобладающим, то особенности распределения этого слагаемого окажут влияние на закон распределения исследуемой случайной величины. Приняв за основу теоретической схемы зависимость возникновения случайной величины не от суммы, а от произведения достаточно большого чи­ сла элементарных воздействий или, иначе говоря, от суммы их ло­ гарифмов, получим логарифмически-нормальный закон. Ограничи­ ваясь этими примерами, отметим, что статистический смысл иных, рассматриваемых далее законов распределения будет выяснен при их изложении.

2. В уравнении кривой распределения должно быть возможно меньше параметров, численно определяемых по экспериментальным данным. Это условие особенно важно при статистическом анализе многолетних колебаний гидрологических величин, так как статисти­ ческие совокупности их обычно ограничиваются несколькими де­ сятками членов (лет наблюдений).

Вместе с тем известно, что параметры уравнений кривых распре­ деления определяются с тем большими ошибками, чем меньше ста­ тистическая совокупность и чем выше величина статистических мо­ ментов, привлекаемых для вычисления параметра кривой распре­ деления. Действительно, если среднее арифметическое значение и коэффициент вариации, входящие в качестве параметров в уравне­ ние кривой распределения, могут быть определены по имеющимся обычно в распоряжении гидролога статистическим совокупностям более или менее надежно, то расчет уже коэффициента асимметрии по индивидуальным рядам, т. е. относящимся к определенному ги­ дрометрическому створу, связан с большими погрешностями; опре­ деление же эксцесса в таких случаях вообще теряет смысл из-за огромных ошибок.

57

В связи с указанным этот параметр при гидрологических расче­ тах вообще не используется. Поэтому при решении гидрологиче­ ских задач используются лишь уравнения кривых распределения^ имеющие два или в крайнем случае три параметра, определяемые по исходной статистической совокупности (среднее арифметическое значение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии). Мо­ жно отметить, что вообще при статистических расчетах используется не более четырех параметров, определяющих форму кривой распре­ деления.

Помимо отмеченных общих требований в отношении уравнений кривых распределения, при статистическом анализе многолетних колебаний речного стока возникают и дополнительные условия. Вследствие того, что величины речного стока являются существенно положительными, кривая распределения, описывающая их колеба­ ния, не должна уходить в область отрицательных значений, ибо это входит в противоречие с физической сущностью рассматриваемого явления.

Ограничение же кривой распределения верхним пределом осу­ ществить не удается, так как не имеется соответствующих приемов его рационального обоснования. Имеющиеся попытки установле­ ния физически возможного наибольшего значения рассматриваемой характеристики стока обычно приводят не к абсолютному макси­ муму, а к величине, которая всегда может рассматриваться как не­ кое значение очень малой вероятности его превышения. Кроме того, в практике гидрологических расчетов не используют значения веро­ ятности ежегодного превышения, стремящиеся к нулю, а принимают достаточно реальные конечные вероятности, ограниченные, как пра­ вило, значениями обеспеченности 1; 0,1% и в редких случаях 0,01%.

Таким образом, отсутствие ограничения кривой распределения со стороны больших величин расходов воды в экстраполируемой об­ ласти не противоречит физической природе колебаний речного стока и не приводит к практически неприемлемым решениям, т. е. к полу­ чению расчетных значений стока, существенно уклоняющихся от величин, согласующихся с материалами гидрометрических изме­ рений.

Можно отметить, что попытки применения кривых распределе­ ния, ограниченных со стороны наибольших величин стока некото­ рым фиксированным пределом, во многих случаях приводят к по­ лучению расчетных величин стока, даже превышающих значения, соответствующие кривым с неограниченным простиранием в об­ ласть положительных величин. Это связано, конечно, с неопределен­ ностью установления верхнего предела. Дополнительно можно ука­ зать на многочисленные примеры использования неограниченных кривых распределения в науке и технике для описания статистиче­ ских рядов величин, которые заведомо не могут быть бесконечно большими при обеспеченности, стремящейся к нулю. Например, ошибки размера в изготовлении той или иной детали обычно описы­ ваются нормальной кривой распределения, простирающейся в зоне от оо до —оо, хотя заведомо известно, что ошибки изготовления де­

58

тали не могут оказаться бесконечно большими вследствие того, что величина детали ограничена размером используемой при обработке заготовки.

Приведенные соображения, а также оценки соответствия теоре­ тических схем распределения вероятностей материалам гидромет­ рических наблюдений показывают, что использование кривых рас­ пределения, не ограниченных большими величинами, не приводит к противоречию с физической сущностью совокупностей гидрологи­ ческих величин и может рассматриваться как вполне приемлемое средство математического описания статистических закономерно­ стей в пределах практически используемых обеспеченностей.

Таким образом, для кривых распределения, используемых для описания многолетних колебаний речного стока и ряда других па­ раметров гидрологического режима (х), можно поставить следую­ щие граничные условия: 0=^х<оо.

Обычно теоретические кривые распределения, используемые в гидрологии, удовлетворяют и условию одномодальности. Оно воз­ никает как следствие требования однородности и стохастической независимости рассматриваемых гидрологических величин. Дейст­ вительно, многомодальность распределения является следствием объединения нескольких совокупностей с резко различными распре­ делениями. Но поскольку при решении гидрологических задач обычно оперируют с фазовооднородными величинами, естественно ожидать, что их распределения будут одномодальными. Следова­ тельно, кривая распределения, используемая для решения задач расчета речного стока в дифференциальной форме, должна иметь следующий общий вид: начинаться с некоторого положительного значения (или нуля), затем, повышаясь, достигать своего наиболь­ шего (модального) значения и далее, понижаясь, уходить в область бесконечно больших величин.

Использование аналитических кривых распределения позволяет осуществлять сглаживание эмпирических распределений, выделяя при этом наиболее закономерные черты рассматриваемой статисти­ ческой совокупности и исключая случайные флуктуации эмпириче­ ских данных, свойственные лишь рассматриваемой выборке и не являющиеся закономерными по отношению к генеральной совокуп­ ности. Использование аналитических кривых распределения дает возможность сопоставлять статистические закономерности, свойст­ венные рядам случайных величин, характеризующих одно и то же явление, но формирующиеся в различных природных условиях. В частности, подобные сопоставления широко применяются в гидро­ логических исследованиях с целью выявления статистических зако­ номерностей, свойственных рядам годового или максимального стока. При аналитическом описании с помощью кривых распреде­ ления рядов, образованных на основании материалов наблюдений, возникают следующие основные задачи.

1. Выбор кривых распределения, наиболее соответствующих рас­ сматриваемым статистическим совокупностям. В условиях исполь­ зования ограниченных по численности выборок гидрологических

59