Файл: Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

заменив o = Cvx, получим

 

: 1

Х1■ ~ \з

2 (*£ — l)3

 

Сс

 

i=1________

(1.28)

n C ix A

nCl

nCl

 

 

Выражение (1.28)

обычно используется

в практике гидрологи­

ческих расчетов при определении параметров статистических рядов. Как с,ледует из приведенных формул, коэффициент асимметрии

выражается безразмерной величиной.

 

 

 

 

 

 

 

 

р(Х)

Иногда

в качестве

ха­

 

рактеристики

несимметрич­

 

ности

кривой

распределе­

 

ния

используют

так назы­

 

ваемый

 

коэффициент

ско­

 

шенности

 

(S),

ее

выражаю­

 

щийся

через

квантили

х

следующим

соотношением:

 

I +

-^юо - р — 2х50 ,0 .2 9 )

Рис. 1.5. Схема, иллюстрирующая влия­

 

ние эксцесса на форму кривой распреде­

 

 

 

■-*100-

 

 

ления.

где

хр,

хт - р — ординаты

/ — Е > 0, 2— £ = 0, з — е < 0.

 

кривой обеспеченности (ква­

 

нтили),

 

расположенные на

равном расстоянии (по оси обеспеченности)

от центра

(медианы)

распределения {хъо).

 

 

 

 

 

 

 

 

При исследовании общих свойств статистических рядов иногда возникает необходимость сопоставления степени сглаженности или, наоборот, островершинности графика распределения вероятностей рассматриваемой совокупности с так называемой нормальнЪй кри­ вой распределения. В качестве характеристики указанного свойства

кривых распределения используется параметр, называемый эксцес­ сом (уклонением)

2

( x t - x Y

 

i=i

■3.

(1.30)

п

V

( Xi ■xf

 

—J

 

i = 1

Применительно к закону нормального распределения дробь, вхо­ дящая в выражение эксцесса, равна 3, и, следовательно, эксцесс равен нулю. Уклонение этой дроби от 3 свидетельствует об отли­ чии степени островершинности (или сглаженности) кривой рассмат­ риваемого статистического ряда от закона нормального распреде­ ления (рис. 1.5).

В практических расчетах величина эксцесса при обработке ря­ дов гидрологических величин обычно не используется, так как этот параметр по рядам, включающим несколько десятков членов, опре­ деляется весьма недостоверно.

50

моменты статистических совокупностей (рядов)

Рассмотренные в предыдущих параграфах основные параметры статистических рядов — среднее арифметическое значение (матема­ тическое ожидание), меры рассеяния (дисперсия, среднее квадра­ тическое отклонение и др.), меры симметричности (асимметрично­ сти) и эксцессионности представлены изолированно и независимо друг от друга. Между тем они являются взаимно связанными, обра­ зующими единую систему, опирающуюся на понятие о моментах

статистических совокупностей. Понятие моментов перенесено "в ста­ тистику по аналогии из механики, где оно используется для харак­ теристики распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д .).

При описании свойств статистических совокупностей наиболее часто используются моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом порядка k дискретной

случайной вели­

чины х называется выражение вида

 

П

 

2

(1.31)

i = 1

 

Таким образом, начальный момент порядка k случайной вели­ чины х представляет собой математическое ожидание (гпх), или,

иначе, среднее значение (х) k -той степени этой случайной величины.

В частности, при £ = 1, имеем первый начальный момент, или ма­ тематическое ожидание (среднее арифметическое значение) рас­ сматриваемой переменной.

Центральным моментом (ц) порядка k случайной величины х называется среднее значение отклонений случайной величины х от ее среднего значения (математического ожидания тх), взятых в сте­ пени k, т. е.

П

^ = 4 - 2 ( х - х ) \

(1.32)

г = 1

 

Очевидно, что нулевой центральный момент, как и нулевой на­ чальный, равен единице, а первый центральный равен нулю.

Разность между значениями случайной величины х и ее матема­

тическим ожиданием (средним значением) в статистике называют

Центрированной случайной величиной

о_

х= х —х.

Использование этого понятия позволяет определить централь­ ный момент порядка k случайной величины х более кратко, как

4*

51

 

математическое ожидание (среднее значение) центрированных ве­ личин, взятых в степени k

1 у 0

i =1

( L 3 3 >

 

Соотношение между рассмотренными ранее основными стати­ стическими параметрами и моментами статистических совокупно­ стей приведено в табл. 1.4.

 

Т а б л и ц а

1.4

 

 

 

 

 

 

 

Выражение параметров х, С„, Cs через моменты

 

 

 

Параметр статистической совокупности

Выражение параметра через моменты

Среднее арифметическое

значение х

Первый

начальный

момент он

 

(математическое ожидание тх)

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсия а2

 

Второй

центральный момент

р,2

 

Среднее квадратическое

отклонение

Корень

квадратный

 

из

второго

цент­

(стандарт) а

 

рального момента

У~Ц2

 

 

Коэффициент вариации С„

Корень

квадратный

 

из

второго

цент­

 

 

рального момента,

деленный на пер-

 

 

 

 

.

ГН2

 

 

 

 

 

выи начальный

 

а1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент асимметрии

Cs

Третий

центральный

момент,

делен­

 

 

ный на куб среднего квадратиче­

 

 

ского отклонения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЗ _

 

1*3

 

 

 

 

 

 

 

аЗ

 

р.^

 

 

 

Эксцесс е

 

Дробь

(четвертый

 

центральный

мо­

 

 

мент, деленный на четвертую сте­

 

 

пень среднего квадратического от­

 

 

клонения),

уменьшенная на три

 

 

 

н.

з -

 

1X4

3

 

 

 

 

 

°4

 

 

4

 

 

 

В общем виде моменты могут рассматриваться не только отно­ сительно начала координат (начальные моменты) или математиче­ ского ожидания (центральные моменты), но и относительно произ­ вольной точки а

П

 

Т* = 4 - 2 (•*— «)*•

(1.34)

i=i

 

Очевидно, что при а = 0 выражение (1.34) совпадает с началь­

ным моментом, а при а = х — с понятием центрального момента.

Иногда при практических расчетах, но главным образом при тео-. ретическом анализе законов распределения статистических сово­

52

купностей центральные моменты необходимо выражать через на­ чальные или через моменты относительно произвольной точки а.

Выражение, связывающее центральный момент порядка /г(рь) с моментом k относительно произвольного начала а(уь), легко по­

лучить из следующего выражения:

П

 

п

 

 

 

 

 

[(*, —а) — (* —а )]* =

 

= 4 2

[(Xi —a f — CliXi —a f

1(х —а) +

 

 

I =1

 

 

 

 

-\-C\(Xi — a f

2 (х — а)2 — С \(xt— а)к

г {х — й)

•

Ч-

+ ( —

—а)к

s {х — а)5+ . . . -f-

 

 

+ ( - 1

( X i - a ) • (jc— а)*_1Н-(—1)*(3с — а)*],

 

(1.35>

где С®— число сочетаний из k по 5

(5 = 1, 2, 3, .. k ) .

 

 

Раскрывая квадратные скобки и принимая во внимание уравне­ ние (1.35) и выражение для первого момента относительно точки а

п

п

 

п

 

Т>=4 2 (х‘“а)=4 2 *1—тг 2 а = х - а ,

i = 1

i =

1

i = 1

 

окончательно получим

 

 

 

 

!х й — Т /г СиЧь- ■iTi+ CaTa- 2Т1 ‘ ■С*Тл-зТ1+

• ■• +

+ ( “ ■If

-l^oft—1 ft—1 , /

1 \ ft ft

(1.36>

bft

Ti + ( -

-1) Tb

При исследовании статистических совокупностей гидрометеоро­ логических величин моменты выше четвертого порядка, а при осу­ ществлении практических расчетов моменты выше третьего по­ рядка не используются в силу того, что ошибка расчета этих моментов оказывается весьма значительной. Возникновение суще­ ственных ошибок при определении моментов, начиная с третьего порядка, является следствием относительно непродолжительных пе­ риодов наблюдений над гидрометеорологическими характеристи­ ками.

Применим общее выражение (1.36) для получения формул, свя­ зывающих первые четыре центральных момента (р) с моментами относительно произвольного начала а — (у). При этом учтем, что

П

П

1*1=4- 2 )1==0*

5 3

Смотрите также файлы