Файл: Подводные и подземные взрывы сб. ст.pdf

давления, действующего на границе упругой зоны, в форме [11]

где Н (t) — единичная ступенчатая функция. Для целей сопоставления представляют интерес компоненты

Рис. 1. Пути лучей прямой и отраженной волн для точки наблю­ дения (г, Z).

(U, W) скорости колебания частиц. Следовательно, под^ ставляя (10) в (14) и взяв производную по времени, получаем для радиальной компоненты скорости

где

аI

Вычисление интегралов в (16) путем интегрирования по контуру дает для члена, обусловленного ступенчатой функцией,

Я, = Ге1 - е~2^ х {cos 2 [у (1 — у)]'/г соох — Y [Y (1 — У)\~ЪX

p la lR

X sin 2 [у (1 — y)]'h 0 от} cos e0, (17a)

и для члена, обусловленного экспоненциальной функ­ цией,

X{2у (а — сй„) cos 2 [у (1 — y)]Vs 0 от +

+[у2 (2со0—а) + ау] [у (1 — у)]- '/г sin 2 [у (1 — у)]’/г и0т)] cos б0,

(176)

где Шо = fli/rei и 0 = 0 1 + 0%. Вертикальная компонен­ та скорости может быть получена из (17) подстановкой

— sin ео вместо cos бо.

Теперь рассмотрим взаимодействие этой первичной сферической волны с плоской границей раздела между двумя полупространствами на Z = 0. Поскольку сим­ метрия возмущения отличается от симметрии на грани­ це, удобно перейти к изображению сферической волны суперпозицией плоских волн, используя представление Вейля, и записать [2]

где q = sin б, а Яо1*— функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Выражая падающее возмущение в виде суперпозиции плоских волн, естественно предста­ вить отраженную сферическую волну путем ввода в

336 д ж . р . м ёрф и

подинтегральное выражение (18) коэффициента отра­ жения для плоских волн. Тогда получим потенциал отраженной волны Р:

со со

типа РР. Обозначая далее смещение от гармонического источника нулевым индексом и полагая Н = (Z-)-Zo)/2, получаем

. . со

£ / * . = - - 1 J A 0 ( q ) H ? { k r q ) e x p [ 2 i k H { l - q * ) ' h] x

оо

^ 0 = 4 / A0(q)H{ol)(krq)exp[2ikH(l-q-)'l2]qdq,

где. Н[1)— функция Ханкеля первого рода первого поряд­ ка. Понятно, что коэффициент отражения /10(<7) будет играть важную роль при вычислении интегралов (20). Для отраженной волны Р его можно записать в виде [3]

где

-±

K± ( q ) = ± q z{ n \ ( p - l ) - 2 q 4 m - l ) Y +

и, для того чтобы удовлетворить условию излучения на

ниям (20) необходимо предположить, что А0(д) являет­ ся слабо изменяющейся функцией q в окрестности седло­ вой точки. Однако, согласно (21), оказывается, что это условие не будет выполняться в области q = п (т. е. в критической точке), которая представляет особый инте­ рес в настоящем исследовании. Следовательно, удобно

приближенных' решений, поскольку подинтегральное вы-' ражениесильно осциллирует вдоль этого пути. Крбме; того, вычисление по этому пути привело бы к получению единого выражения для потенциала, обусловленного вкладами различных волн (например, РР, Рп и т. д.) в суммарную «отраженную» волну, что затруднило бы анализ роли отдельных компонент. Следовательно, же­ лательно заменить первоначальный путь интегрирования' таким, при котором вычисления были бы проще. При изменении пути необходимо рассмотреть особые точки Подинтегрального выражения.- Они представлены точ-' ками ветвления q = ± «, q = ±1, д = ±п.\ и q = +пп2, а также полюсами, соответствующими корням знамена­ теля в уравнении (21). Однако может быть показано, что вычеты полюсов соответствуйт волнам Стоили, рас­ пространяющимся вдоль границы, в то время как ре­

ял2 > 1). Так как амплитуды этих волн убывают экспо­ ненциально с удалением от границы [2, 4], то эти члены не представляют интереса для наблюдений на поверхно­ сти, и ими в дальнейшем можно пренебречь.

Принимая во внимание предшествующее обсуждение, приступим к выбору оптимального пути интегрирования. При этом мы будем следовать Червени [3], который все­ сторонне исследовал эту задачу. Первым шагом является определение отрезков ветвления таким образом, чтобы последовательный расчет интегралов по любому линей­ ному пути возможно было бы выполнить достаточно просто. Выбранное параметрическое уравнение для этих отрезков задается в форме

(1 - = (1 - ^BR)'/I + p e ~ W \ (25)

где р — действительный параметр, непрерывно изменяю­ щийся от 0 до °о, ^Br — точка ветвления со значением либо 1, либо я. Первоначальный путь интегрирования в уравнении (20) тогда преобразуется в полуокружность в верхней полуплоскости, дополненную кривой, которая описывается параметрическим уравнением

(1 - = (1 - q l f + ре-* <"/<>, (26)

где qo играет роль угла падения в лучевом приближе­ нии, а р является теперь действительным параметром, непрерывно изменяющимся между — оо и оо. Преобра­ зованный путь интегрирования в комплексной плоскости q показан на рис. 2 для двух случаев qo ^ я и qo > я, где полуокружность обозначена индексом D, а петля через Da. Как показано на рисунке, для того чтобы оставаться на соответствующей плоскости римановой поверхности для qo > я, петля, заданная (26) (т. е. D0), должна быть дополнена петлей D* вокруг границ разреза, связанного с точкой ветвления в q = я. Когда радиус той части пути, которая соответствует полуокружности, прибли­ зится к бесконечности, вклад интегрирования вдоль D будет стремиться к нулю, а потенциал отраженной вол­ ны будет задан интегралом по пути D0 или для q0 > я по путям D0 плюс D*.

Теперь мы вычислим для отраженной волны РР ком­ поненты смещения ((Др и UP/J путем вычисления инте-

тралов в уравнении (20) вдоль пути D0. Можно пока­ зать [3], что для точек на D0 всегда будет сохраняться

условие kr\q | > 1, когда krqj j/2 » 1. Таким обра­ зом, для удаленных точек наблюдения функции Ханкеля

Р н с. 2. Преобразованные пути интегрирования в комплексной пло­ скости q.

в (20) можно заменить их асимптотическими представ­ лениями