Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

успехе этой программы. Указанное обстоятельство, од­

К преимуществам таких исследований относится и большая точность в постановке задач, и возможность доказательства неразрешимости многих естественных алгорифмических проблем*), и, наконец, возможность изучения специфических свойств вычислимых в точном смысле объектов. Интерес получаемых здесь результа­ тов очевиден, поскольку даже те немногочисленные ма­ тематики, которые, подобно Бишопу, отвергают абсо­

и в рамках систем анализа, опирающихся на точное понятие алгорифма.

Излагаемая в данной книге система конструктивного анализа принадлежит к так называемому конструктив­ ному направлению в математике, главные положения которого были выдвинуты в 1948—1949 гг. А. А. Мар­ ковым. Формирование основных понятий этой системы относится к 50-м годам; в это же время были получены и наиболее принципиальные, определившие современное лицо теории, результаты. Здесь следует прежде всего указать на основополагающий вклад самого А. А. Мар­ кова, а также его учеников Н. А. Шанина, И. Д. За­ славского и Г. С. Цейтина. Краткая характеристика конструктивного направления и строящегося в его рам­ ках конструктивного анализа приводится в следующих пунктах. Ниже прилагательное «конструктивный» будет (за исключением особо оговоренных случаев) упот­

*) Здесь имеет место определенная аналогия с прогрессом, до­ стигнутым путем использования точных концепций алгорифма в изучении известных алгорифмических проблем логики, теории чи­ сел, алгебры и топологии.

26 ВВЕДЕНИЕ

«конструктивный анализ» закрепляется за излагаемой нами системой.

Заканчивая наш краткий обзор, отметим, что с рас­ смотренных позиций исследовались (в особенности в последние годы) и достаточно далекие области матема­ тики. В этой связи, помимо монографии Бишопа и

рии меры и интеграла Лебега, посвященный этой же

численные работы принадлежат конструктивному на­

[1]), выяснилась возможность плодотворного применения теории рекурсивных функций для обоснования теории информации и теории вероятностей.

3. Конструктивное направление в математике может быть охарактеризовано следующими основными чертами

I . В качестве объектов изучения выступают кон­ структивные объекты, при обращении с которыми до­ пускается абстракция потенциальной осуществимости, но полностью исключается абстракция актуальной бес­ конечности.

тельно на той же критической базе, что и интуиционизм; вместе с тем положительные программы этих двух те­ чений имеют принципиальные различия. Конструкти­ визм весьма далек как от философских посылок интуи­ ционизма, так и от конкретных интуиционистских тео­ рий, в особенности, от занимающих в интуиционистской математике одно из центральных мест теорий, опери­

математической практики следует признать глубоко ошибочным.

В целом конструктивная математика использует го­ раздо более «скромную» систему абстракций, нежели

стей приложений конструктивных теорий. Внешний мир не подсказывает нам с необходимостью ни субстанций более общих, чем конструктивные объекты, ни идеи

в рамках конструктивного направления конструктивный анализ может служить теоретической базой для обыч­ ных приложений дифференциального и интегрального исчислений. Развитие событий в этом направлении сдерживается как традициями образования, так и срав­ нительной громоздкостью конструктивных теорий. Яв­ ляется ли эта громоздкость неизбежной «платой за кон­ структивность» или возникает из-за недостаточной раз­ работанности языка, покажет будущее*).

объектов является то обстоятельство, что они конструи­ руются по определенным правилам из некоторых эле­ ментарных объектов, неразложимых в процессе этих построений. В качестве примеров можно указать на воз­ ведение зданий из кирпичей и блоков, формирование

конечные списки (алфавиты) элементарных, рассмат­ риваемых как неразложимые знаков (букв). Знаковыми комплексами являются рукописные и печатные тексты, формулы химических соединений, партитуры музыкаль­

том или ином алфавите. Понятие слова в данном ал­

тельным выписыванием прямолинейных цепочках букв

тер способность опознавать используемые конкретные буквы как одинаковые или различные дает возможность говорить о разных конкретных экземплярах знаков, одинаковых с. данной конкретной буквой, как об одной букве.

ствлять процессы написания сколь угодно длинных слов. В этом допущении проявляется специфическая абстрак­ ция, которую А. А. Марков называет абстракцией по­ тенциальной осуществимости и которая «состоит в от­ влечении от реальных границ наших конструктивных

стр. 15]). Относительно используемых алфавитов пред­ полагается также, что они обеспечивают однозначность чтения слов: каждое слово в данном алфавите един­ ственным образом составлено из его букв. Эта одно­ значность позволяет естественным образом говорить об одинаковости слов. Два слова в данном алфавите оди­ наковы (графически равны), если они составлены из одних и тех же букв, расположенных в одинаковом по­ рядке. Процесс опознавания графического равенства сводится к одновременному последовательному «чте­ нию» обоих испытуемых слов и сравнению одновремен­ но появляющихся в поле зрения букв. При неблагопри­ ятном исходе этого процесса испытуемые слова счи­ таются (графически) различными.

Слова представляют собой весьма общий, во всяком случае вполне достаточный для всех наших рассмотре­ ний тип конструктивных объектов. Фактически во всех мыслимых случаях использование знаковых комплек­ сов, при построении которых происходит уклонение от прямолинейного расположения знаков, объясняется не принципиальными причинами, а лишь соображениями привычности и практического удобства. Сами эти ком­ плексы могут быть по простым правилам однозначно преобразованы в слова. (Например, текст романа «Война и мир» мог бы быть записан (с использованием буквы «*» для обозначения пробела) в виде одного слова на достаточно длинной ленте. Однако вряд ли

знаковых комплексов словами можно указать на опре­ деления изображения и записи нормального алгорифма (см. п. 8 § 1 гл. 1). При такого рода кодировании обыч­ ным является использование вспомогательных «разде­ лительных» букв, не входящих в алфавиты исходных знаковых комплексов. Например, произвольная матрица