Файл: Кушнер, Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу.pdf

Таким образом, элемент Ж «восполняется» решением соответствую­ щей конструктивной задачи, а сама подчиненная переменная х за­ меняется нормальной переменной по парам. Например, в случае параметрического утверждения существования

соответствующие им переменные) нормальные. Таковы множества натуральных, целых, рациональных и конструктивных действитель­ ных чисел, множество всех нормальных алгорифмов в данном ал­ фавите, перечислимые множества, множество конструктивных дей­

торов, действующих из одного конструктивного метрического про­ странства в другое. Суждения с подчиненными переменными, отве­ чающими этим множествам, трактуются в духе п. 6.

Приведем в заключение пример, разъясняющий трактовку суж­ дений с переменными по алгорифмам. Суждение вида «для всякого слова X существует алгорифм, обладающий данным свойством» понимается как утверждение об осуществимости алгорифма, пере­

щая сводить такое построение к более естественной задаче построе­

8. Особенности конструктивного анализа определяют­ ся как особенностями конструктивного направления, так и специфическими свойствами вычислимых объектов. Чтобы иметь достаточный запас примеров, приведем (опуская технические детали) определения центральных понятий этой книги — конструктивных действительных чисел и конструктивных действительных функций.

Конструктивной последовательностью натуральных (рациональных) чисел (кратко КПНЧ и КПРЧ) назовем алгорифм * ) , перерабатывающий всякое натуральное

*) Напоминаем, что под «алгорифмами» подразумеваются нормальные алгорифмы. Заметим также, что вообще под кон­ структивными (это прилагательное будет часто опускаться)

В соответствии с пп. 6—7, последнее условие означает,

КДЧ представляют собой пары записей алгорифмов, из которых первый алгорифм определяет последователь­ ность рациональных чисел, а второй эффективно оцени­ вает скорость ее сходимости. Это определение эквива­ лентно второму определению вычислимого действитель­ ного числа, данному Тьюрингом (см. п. 2). Для кон­ структивных действительных чисел естественным обра­ зом определяются отношения равенства и порядка и арифметические операции, причем последние задаются алгорифмами. Конструктивной действительной функ­ цией (КФ) называется алгорифм, перерабатывающий

ределенных конструктивных функций одной переменной). В терминах конструктивных действительных чисел и функций без труда вводятся употребительные числа и функции анализа (е, п, всякого рода иррациональности, элементарные и специальные функции и т. д.). Вообще фактически весь материал стандартных курсов анализа, относящийся к конкретным вычислениям (теория рядов, формульный аппарат дифференциального и интеграль­ ного исчисления и т. д.), без принципиальных изменений может быть «пересказан» конструктивно с заменой тра-

последовательностями слов из данного множества мы понимаем алгорифмы, перерабатывающие всякое натуральное число (в смысле п. 4) в элементы этого множества.

диционных действительных чисел на КДЧ, а действи­ тельных функций на конструктивные функции. В этом отношении важную роль играет теорема о полноте кон­ структивного континуума, утверждающая, что для каж­ дой фундаментальной конструктивной последовательно­ сти КДЧ осуществимо КДЧ, к которому сходится эта последовательность. (Упоминаемые здесь понятия трак­ туются совершенно аналогично случаю рациональных чисел. Конструктивная последовательность КДЧ а схо­ дится к КДЧ х, если можно построить КПНЧ р так, что при любом п и i ^ Р ( « )

| х - а (I) |< 2~п.)

Следует также заметить, что хотя с традиционной точки зрения конструктивный континуум счетен, невозможен его эффективный пересчет; более того, по всякой кон­ структивной последовательности КДЧ можно указать КДЧ, отличное от всех ее членов.

Вместе с тем конструктивные действительные числа и функции обладают некоторыми свойствами, не имею­ щими аналогов в традиционном анализе. Приведем два

нальных интервалов, покрывающая конструктивный еди­ ничный сегмент, из которой нельзя выбрать конечного покрытия. Из этого результата выводится существование «необычных» конструктивных функций, например неог­

то

\f{xl)-f{x2)\<2-'1.

*) Д л я конструктивного континуума не сохраняются также тео­ ремы о точных гранях ограниченных множеств и сходимости моно­ тонных ограниченных последовательностей (ср, п, 1).