Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

§ 2.8. Вычисление напряжений в наклонных площадках при осевом действии силы

Винженерной практике встречаются случаи, при ко­ торых нужно определять напряжения по наклонным сечени

Вначале рассмотрим растянутый стержень по сечению ГП-П, перпендикулярному к его оси (рис.2.3,а)

tit

\

У р

\ •

\

\

Рис.2.3,а

Пользуясь методом сечений мысленно разрезаем стер­ жень по оечению/77-/7 и отбрасываем правую часть, дейст­ вие отброшенной части заменяем силами, передающимися на оставшуюся часть. РавнодеРотвуюцая этих внутренних оил будет // (рис.2.3,6) равная cue Р, направлена по оси стержня в противоположную сторону внешней силе Р.

/77.

N

л

Рис.2.3,6

Вычислим напряжения в площадке т-О , наклонен­ ном под углом oi к поперечному сечению Л?-г? (рис.

85

2.3,в).

С этой целью отбросим верхнюю (правую) часть стер ня и заменим действие отброшенной части, равнодействую

внутренних сил А/ , Разложим эту силу на две составл

щие Л«: » перпендикулярную к плоскости наклонного се­ чения, и Ты .лежащую в этой плоскости.

Из рис.2.3,в нетрудно заметить, что:

Приняв эхо во внимание, можно написать оледующую формулу:

Аналогично запишем:

u С

u Foe *У *°1F Z (2.3)

86

Анализ зтих уравнений указывает, что в наклонных площадках при растяжении и сжатии возникают как норм ные, так и касательные напряжения.

Исоледуем указанные уравнения. При Ы « 0° имеем max

При ©С» 90° имеем AU'-7

Из уравнения (2.3) оледует, что наиоольшее каса­ тельное напряжение по абсолютной величине может быть лучено в площадках, наклоненных под углом 4 5 ° , т.е.

Зная, что уравнение (3.2) справедливо при любых углах, подставим в нее вмеохо оС уч>л (90° + оС ),

тогда получим:

Сравнивая пооледний результат с уравнением (2.3), находим, что

(5.3) - теорема парности касатель­ ных напряжений, которая

формулируется так:

касательные напряжения, действующие в двух взаимн перпендикулярных площадках, равны между собой по абсо лютной величине, но противоположны по знаку. Они мог быть направлены к линии пересечения этих площадок, л от нее (рис.3.3, а, б).

Теперь выясним знаки нормальных и касательных на пряжений, действующих по наклонной площадке, т.е.

87

нали, будут положительными, а сжимающие напряжения, Т.е. обратного направления являются отрицательными.

следующим образом: они будут считаться положительными, если их направление будет таким, что внешняя нормаль для совмещения с ними должна повернуться по часовой стрелке. При обратном направлении £ ^ будет отрица­ тельным.

При определении внака касательных напряжений чаще пользуются другим правилом:

касательное напряжение £ ^ считается положитель­ ным, если оно стремится вращать рассматриваемую часть элемента по часовой стрелке относительно его центра.

ных и отрицательных значений нормальных и касательных напряжений и , действующих по наклонным пло­ щадкам. Возникновение этих напряжений по наклонным пло ще, .кам обусловливает наличие двух деформаций: продоль­ ной деформации (растяжение или сжатие), связанное с воздействием нормальных напряжений, и деформации сдви­ га, которая происходит от действия касательных напря­ жений.

Вышеприведенные формулы (1.3 и 2.3) дают возмож-

88

Hocib определить нормальное и касательное напряжение

влюбой площадке для случая, когда известны напряжени

впоперечной площадке, которую можно провести через данную точку.

в дальвойшем оценку прочнооти материала при нали­ чии этих напряжений будем производить о использование т^рии прочности.

89

§3.3. Напряжения в наклонных площадках при

1..ЛСКОЫ напряженном состоянии.

Вырежем из упругого тела около точки В бесконечномалую призму АБС (рис.5.3). С этой целью рассекаем тело тремя плоскостями: отбраенвием все, кроме выделенной призм заменяем действие отброшенных частей силами и рассмотрим условие равновесия призмы (рис.6.3).

Рис об.3.

90

Вертикальные и горизонтальные площадки называются ис

ными площадками. По этим исходным площадкам действуют мальные и касательные напряжения, т.е. заданные напряжен

На рис.6.3,а показаны напряжения по граням оставшейс призмы, а на рис.6.3,6 указаны действующие силы по гран призмы. Предварительно примем площадь наклонной площадки равной единице, т.е. Гд, = 1 , тогда площадь вертикально

можно записать условия равновесия выделенной призмы в

Ъ\пХ> -бх'-binL CostL+Xy CoiJL Со*Х -

-<r

CV ЫпЬ v5inJL = 0

01

перпендикулярных площадках есть величина постоянная и не

напряжение Б ОДНОЙ главной площадке достигает максимально-

92

го вначения, то в другой главкой площадке нормальное напряжение имеет минимальное значение.

Извеотно, что плоское напряженное состояние сводит ся к растяжению (сжатию) по двум лзаимно-перпондпкулярн направлениям, т.е. любое плоское напряженное состояние может характеризоваться величинами двух главных напряж ний и положением главных площадок. Следовательно, напр жения в любой площадке можно выразить череэ главные пряжения и угол наклона указанной площадки к главной. С этой целью в формулах (б.З) и (7.3) приняв G^^Gv

гиш^^д^АоС (ю.з)

§ 4.3. Главные площадки.Главные напряжения

Как уже ранее отмечалось главными площадками на­ зываются две взаимно-перпендикулярные площадки, по ко­ торым действуют наибольшие и наименьшие нормальные на пряжения, а касательные напряжения равны нулю.

Нормальные напряжения, действующие но этим площад­ кам, называются главными.

Для нахождения угла наклона главных площадок нуж найти максимум и минимум нормальных напряжений.

или можно переписать в следующем виде:

93

Разделив каждое слагаемое равенства (а) на будем иметь:

где oS0 - угол наклона главных площадок, при кото­ рых касательные напряжения будут равны нул

J-s,9rV g 1 . ^ • / 7 У . З ) Тмерб Можно

Следует отметить, что ранее мы определяли относи­ тельные деформации для бруса, растянутого только в од направлении, т.е. по одной оои. Как известно, эту вел ну выч-оляли по формуле (10.2), выражающая закон Гука Для того, чтобы получить выражение закона Гука для б оа, растянутого по даум взаимно-перпендикулярным направ­ лениям, ш» должны найти величину относительных удлине­ ний бруса по направлению этих осей, как сумму относ ных удлинений от главных напряжений 5 ^ а 6^ , .Чес вующих независимо друг от друга,

С этой целью вырежем из напряженного уела элемен тарный кубик„ ребро которого равно единице я пусть

Пользуясь принципом независимости действия сил, определим величины относительных удлинений ребер кубик

Если бы на кубик действовали только напряжения о у (рис.8.3), то он имел бы относительное удлинение

в направление & , равное 6 х и относительное су-

94