Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

о

откуда получим J f = g£ m ~^гР

При этом было сделано допущение, что суммарное перемещение сечения В происходило от каждой силы в о дельности, а остальные силы в этот момент отсутствуют Поотроим эпюру продольных сил по длине бруса.

Для этого рассматриваемый брус разбиваем на 4- уч стка, указанные на рис.15.2,а. Применим метод сечений: оотавляем левую часть и отбрасываем правую часть брус Рассмотрим условие равновесия оставленной части бруса (проектируем на ось ОС внешние и внутренние силы, действующими на оставленную часть бруса).

Для участка бруса I - I имеем (рис.16,2,а) £Х~ ОJ

откуда

х

Рис.16.2,а

Для участка бруса П-П получим (рис.16.2,б)

65

откуда Л/х = ^ - / ° = ^ / 0 -Р - ~

Рис.16.2,б

Для участка бруса Ш-Ш, как видно из рис.16.2,а других осевых сил не будет, поэтому продольная ои на 3-ем участке будет равна , т.е.:

Для участка_бруса 1У-1У (рис.16.2,в)

ос

Рис.16.2,в

Получив соответствующие данные, мы приступаем к построению эпюр продольных сил. Эпюрой называется графическре изображение в масштабе величин внутренни

66

сил по длине бруса.

С этой целью, проводим ось абсцисс графика, па­ раллельно оси бруса (рис.15.2,в) и откладываем в выб ном масштабе полученные значения продольных сил по ординат.

Рис.15.2,в

Следует заметить, что в пределах одного или даже д емежных участков величина продольной силы не меняет вследствие чего эпюра будет ограничена прямыми лини параллельными оси абсцисо. Построив эпюру продольных приступаем к построению эпюры нормальных напряжений (рис.15.2,г) для чего делим значения продольных сил по участкам бруса на соответствующие площади сечения бруса.

2ZF

гр

Рис.15.2,г

67

По эпюре нормальных напряжений можно судить об опас­ ном сечении бруса. Опасным оечением будет являться се­ чение участка, где напряжения достигают наибольшего значения. Имея соответствующие значения нормальных на­ пряжений, мы откладываем их в выбранном масштабе по о ординат.

Аналогично строится эпюра перемещений поперечных сечений бруса. Умножая, значение продольной силы на дли ну соответствующего участка и деля на жесткость этого учаотка бруоа, находим значения перемещений поперечных сечений бруоа. Откладывая полученные данные в выбранном ыаоштабе на оси ординат, строим эпюру перемещений (ри 15.?,д).

Рис.15.2,д

Рекомендуется отроить эпюру перемещений, начиная от защемленного конца.

Анализ решения этого примера дает возможнооть сде­ лать заключение, что сущность метода сил состоит в т что за неизвестные принимаются статически-неопредели­ мые усилия, величины которых находятся из условий де­ формаций.

Помимо указанного способа для решения отатичеоки неопределимых систем также используется и метод дефор­ маций» В этом случае за неизвестные принимаются переме­ щения, величины которых находятся из условий равнове­ сия.

68

Пример 5.2

Рассмотрим статически неопределимую систему, изображенную на рис.17.2, которая состоит из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирно-неподвижную опору и прикрепленного к двум отержням посредством шарниров. Требуется определить усилия в стержнях, предельную гру зоподъемность оистомы и допускаемую нагрузку, если пре

Рис.17.2

Решение

Обозначим возникающие в стержнях усилия через <^?у

Составим одно уравнение статики - уравнение момен­ тов относительно центра неподвижного шарнира (точки 0 )

69

Чтобы решить эту задачу необходимо составить до полнительное уравнение, выражающее зависиность между деформациями обоих стержней. Так как брус является солютно жестким, то его собственными деформациями мо пренебречь. Тогда он займет положение, показанное на рисунке пунктиром. Из подобия треугольников составим соотношение между ЛС^ и A £ z , т.е.:

Но по закону Гука имеем:

Подставив полученные значения A^f и уравнение ( 2 ) , получим:

Решая совместно уравнения ( I ) и (2) л

Полученное значение подставим в уравнение ( I ) :

70

Отоюда R r Z ^ T ^ f - ^ ^ W ^ )

Тогда

Определяем напряжения в стержнях

Учитьшая, что во втором стержне напряжение боль ше, то при увеличении нагрузки напряжения в нем до­ стигнут предела текучести раньше, чем в первом стер не. Когда это произойдет, напряжения во втором стерж не некоторое время не будут расти при увеличении н грузки. Усилие во втором стержне будет равно:

Дальнейшее увеличение нагрузки вызовет рост на­ пряжений в первом стержне до преде;.* текучести и уси лие в этом стержне будет выражаться уравнением:

Ори этом условии система становится как бы ста

чески определимой, нагруженной (предельная гру­

х

зоподъемность). > В этой случае можно составить уравнение моментов относительно центра неподвижного шарнира:

х

) Под предельной грузоподъемностью системы подра­ зумевается такое предельное состояние, при ко­ тором напряжения в поперечных сечениях всех ее элементов достигнут предела текучести.

71

Исключая ОС , определим искомое соотношение между деформациями:

Выразим деформации через силы:

Подставим в уравнение (3) значения деформаций,

выраженные через силы, найдем недостающее уравнение:

P-L . Р*. рР^~Г) *~ Q9-C

или

Решая совместно уравнения ( I ) , (2) и ( 4 ) , получим

74

Подставляя значения найденных деформаций в фор­

Следовательно, работа штампа без брака еще возможна.

§10.2. Температурные и монтажные напряжения

Винженерной практике часто приходится иметь дел

срасчетом статически-неопределимых систем на действие нагрева или охлаждения, а также с определением монта ных напряжений, возникающих при сборке неточно изго­ товленных деталей.

При раочете конструкций, овязанных о вычислением напряжений за счет изменения температуры, необходимо учитывать величину линейного расширения, которая изве­ стна из курса физики как коэффициент линейного расш рения оС , выражающий прирост единицы длины при на­

греве или охлаждении на 1°С. В этом случае полное т

длина; оС - коэффициент линейного расширения, ве­ личина которого для некоторых материалов приведена в таблице 4.2.

75