Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
жение в направлении61 |
равное — у |
1 4 |
- £• |
|
Аналогично будем иметь |
||
|
в случае, |
если на чтбик |
|
|
действует только 6 £ |
||
|
(рис.9.3), при сток он |
||
|
получит соответственно от |
||
|
|
|
6г |
|
носительное удлинение |
||
|
по второму направлению, |
||
X |
а относительное сужение |
||
по первому направлению. При одновременном дейст
вии обоих напряжений отно сительные удлинения в на
Рис.7.3 правлениях в^г и ^ 2 выразятся алгебраической суммой и будут соответственно равны:
|
Полученные |
значе |
|
|
ния |
4 |
на- |
|
зывают главными удли |
||
|
нениями потому, что |
||
|
они получаются от |
||
|
действия главных |
||
|
напряжений в направ |
||
|
лениях, |
перпендику |
|
|
лярных к главным |
||
|
площадкам. |
|
|
|
Если бы кубик рас |
||
Рис.8.3 |
тягивался и по на- |
||
|
|
|
|
7-1256 |
|
|
95 |
направлению оси 2. (перпендикуляр ной плоскости чер
тежа, как изображе но на рис.10.3), то в правую часть формулы (0.3) во шел бы дополнитель ный член, равный^#|г
Рис.9.3
Рассуждая так, как и ранее, мы получим относител ные удлинения при объемном напряженном состоянии, кот рые соответственно будут равны: _ -,
Подобные формулы могут быть получены и для случ при котором грани элементарного кубика не совпадают главными площадками (т.е. по этим граням помимо норма ных напряжений будут действовать также и касательные пряжения). В этом случае действие касательных напряжен вызовет изменение прямых углов меаду гранями и совер не будет влиять на удлинение ребер кубика. Поэтому мулы будут иметь следующий вид:
В этой формуле 6*х , 6^. и 6 ^ - нормальные на пряжения, действующие по боковым граням выделенного к бика. Причем эти грани кубика не совпадают с главны
площадками. <SX 1 £ у.и |
~ относительные удлинения |
его ребер. |
|
Следует указать, что если одно из напряжений бу дет сжимающим, то оно должно быть внесено в указан формулу со знаком минус.
Выражения (15".3) и (16.3) являютоя формулами обоб щенного закона Гука при растяжении по трем взаимно-п
97
пендикулярным осям (ЛС , ^ |
и £ ) . |
Рассмотрим частные случаи: |
|
а) случай простого растяжения. В этом случае нор |
|
мальные капряаения 6 ^ и 6^ |
будут равны, а одно из |
нормальных напряжений будет иметь соответствующее зна
чение, разное |
, т.е.: |
w |
Пользуясь формулами (15^3) соответственно получим: |
||
Ь*§ |
J 4 — ^ ; |
4 - У ? |
б) случай растяжения по двум взаимно-перпендикуляр ным направлениям, когда нормальные напряжения б£= 6^-= а 6^ = 0. Тогда применяя формулу (15Гз), определим оо
ответетвующие удлинения:
§ б.З. Относительное изменение объема
определим изменение объема элементарного кубика с длиной ребер равной единице для того случая, когда о растягивается по трем взаимно-перпендикулярным направле
ниям осей VC |
, |
^ и 2 |
(рис.II.3). |
Допустим, |
что до деформации объем куба был равен |
||
единице, т.е. |
ft |
п е р в о н а ч . |
-/./•/ |
После деформации (длина ребер его удлиняется) объем кубика будет соответственно равен:
98
6 2
1
I
{сн
//
icti
Рис.II.3
Пренебрегая произведениями малых относительных де формаций (величинами второго и порядка малости), получим
Тогда относительное изменение объема будет равно:
9- |
(iT.s) |
|
Формула (17.3) выражает относительное изменение объема, которое будет равно сумме относительных удлине ний.
Если в эту формулу подставим значения относительных удлинений из формулы (l5*.3), то получим:
(18.3)
99
Эта формула служит для определения относительного изменения объема, выраженного через напряжения.
Исследуем это выражение $&3$, Если бы в предельном случае объем кубика не ив
нился, то относительное изменение объема равнялось бы нулю, т.е.:
е-о |
1 0 г а а |
|
|
еу-о |
но |
|
В этом случае будет ty4*0 |
||
коэффициент Пуассона будет равен |
« 0,5. |
|||
Следовательно крайние значения коэффициента Пуао- |
||||
оона для любых материалов будет равно |
0,5 и |
|||
Л- ° -
§7.3. Потенциальная энергия при объемном напряжен
ном состоянии
Выделим из напряженного тела элементарный кубик о длиной ребер, равной единице и грани которого совмеще о главными площадками (рис.12.3).
Потенциальная энергия при растяжении (сжатии) опре делается формулой (17.2), т.е. РАсцпр.
а удельная потенциальная энергия (работа в единице об ма) будет выражаться формулой (18.2): (Х^Л.
но для нашего случая 0" * |
1 см . |
^* |
Известно, что <5=Аг |
• но |
zf * I ом, тогда |
Для кубика, испытывающего объемное напряженное со стояние, удельная потенциальная энергия будет равна:
100
Рис.12.3
Если подставим в указанное уравнение (а) значения S1 , £j_ и £ 3 , выраженные через напряжения, то полу чим формулу удельной потенциальной энергии в следующем
виде:
Л^^&%УУ$Ь*ЬЪ«ХЩ СШ.8)
§8.3. Расчет тонкостенных сосудов
Впищевой промышленности часто приходится встречать ся с тонкостенными сосудами (аппараты для шампанизации так называемые акратафоры, паровые котлы и т.д.). Тонк стенными сосудами называются сосуды, у которых толщина стенки мала по сравнению с поперечными размерами сосуд
101
При эхом толщину стонок принимают постоянной в продол ных и поперечных сечениях этого сосуда.
Толщина стенки сосуда определится в зависимости от критерия:
JT)
— j-jg |
(20«3), где JPJJ - наружный диаметр |
||
цилиндра в мм; JDg |
- внутренний диаметр цилиндра |
||
в мм. |
|
|
|
Если |
|
, то резервуар рассчитывается как |
|
тонкостенный сосуд, |
а при |
1tj - как толстостен |
|
ный сосуд. |
|
|
|
Так как толщина стенки тонкостенного сосуда мала |
|||
то считают, |
что напряжения, |
возникающие в стенках это |
|
го сосуда под действием внешних сил, распределяются по ее толщине равномерно. Учитывая, что наибольшее рас пространение имеют сферические и цилиндрические сосуд то в этом разделе рассмотрим методику расчета этих с судов, находящихся под действием внутреннего давления.
Вначале рассмотрим сферический сосуд с радиусом
х
£ ) толщиной стенки сР , содержащий газ под давле нием Р(рис.13.3). При этом будем считать, что действие равномерно-распределенного внутреннего (или внешнего) давления Р во всех точках стенки сосуда направлено нормали к его поверхности.
Требуется определить напряжения в стенке этого сосуда.
Пользуясь методом сечений мысленно разрезаем сфе ру диаметральной плоскостью (сеч.1-1 рис.13.3,6) и от-
х
) Под Ъ понимается расстояние от центра до сере дины толщины стенки.
102
бросим нижнее полушарие.
Действие отброшенной нижней части на оставшуюся чаоть верхнее полушарие заменяем внутренними растягивающими силами, равномерно распределенными по толщине стенки. Обозначим через в* напряжения, действующие по плоскости сечения I - I , а через / / - равнодействующую пряжений, действующих по толщине стенки в плоскости се чения I - I , Она будет равна произведению этих напряж ний на площадь поверхности сечения, т.е.Л/= 6"-2ЖЪО ру_- равнодействующая всех внутренних сил, действующих на внутреннюю поверхность сосуда и будет равна произ дению Р на площадь круговой поверхности, т.е^=^^2
Составляем условия равновесия между внешними и вну ренними силами, проектируя все силы на о о ь .
ИУ-О или - £ / V - / / j > |
= 0 |
Подставляя значения /V и |
в наше уравнение, |
будвм иие1Ь!
_ е.&гг<Р+pJTL*-~ о
откуда находим:
Формула (1-1.3) показывает, что нормальное напряже ние в стенке сферического сосуда везде одинаково и п порционально внутреннему давлению и радиусу сферы и об ратно пропорционально толщине стенки.
В том случае, когда сферический сосуд будет нахо диться под внешним давлением (давлением извне), то в его стенке возникнут сжимающие напряжения той же вели ны как предусмотрено формулой ( 2 i . 3 ) ,
Теперь рассмотрим цилиндрический сосуд с радиусом <&и толщиной стенки <? , закрытого по концам днищами
104