Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

Из этой формулы следует, что каждый из интегра­ лов будет представлять собой сумму произведений элеме тарных площадок dF на расстояние до некоторой оси ( 2? или W ) . Они могут быть положительной или от-

выражаться в см", м" и т.д.

Еоли отождествить площадь с силой, то можно раооматривать элементарную площадку как силу, а расстояни ее от оои как плечо силы. Тогда используя теорему менте равнодействующей, известную из теоретической ме­ ханики, можно написать:

Исходя из этого выражения координаты центра тяжео ти любой фигуры будут определяться по следующей фор­ муле:

центра тяжести фигуры.

Если обратиться снова к рисунку 1.4 и допустить, что оси и z£ будут проходить через центр тяжести всей фигуры, то из формулы (2.4) следует, что статиче кий момент сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести будет равен нулю (так как в наше чае координаты центра тяжести будут равны нулю, т.е.

ИЗ

Пример 1.4

Найти положение центра тяжести таврового сечени изображенного на рис.2.4.

5см

Рис.2.4

Решение

Разбиваем тавровое сечение на два прямоугольник (нижний, прямоугольник с площадью / > в ^ " ^ в *fCAfi и верхний прямоугольник с площадью Fz = S~Z = /Ос**).

Центры тяжести этих прямоугольников Cj и С2 пок заны на рис.2.4.

Проведем случайную ось i i и вычислим статичес-

114

кие моменты в отдельности.

Как видно из рисунка, статический момент 1-го п моугольника (нижнего) найдется как произведение его п щадки на расстояние от оси 27 до его собственного центра тяжести, равное 2 см, т.е. получим:

Аналогично определяем статический момент инерции второго (верхнего)прямоугольника:

Вычисляем статический момент всей фигуры относи­ тельно 2.J » который будет равен

Заметим, что полная площадь сечения будет соотве ственно равна:

Пользуясь формулой (3.4), находим центр тяжести таврового сечения, т.е.:

Так как значение ^ с положительно, то откладываем ее величину вверх от оси j? r и находим положение це ра тяжести С указанного сечения как показано на ри 2.4.

§ 3.4. Моменты инерции сечений

Осевым (или экваториальным) моментом инерции фигу­ ры относительно некоторой оси называется выражение вида:

115

где Пг и осевые моменты инерции относительн ответствующих осей 2- и у .

Осевые моменты инерции выражаются в см\ м^ и т.д. Они всегда положительны.

Центробежным моментом инерции фигуры называется выражение вида:

Полярный момент инерции берется относительно осей, пересекающихся в полюсе (точка 0 ) . Докажем, что полярн

116

момент инерции фигуры связан с осевыми моментами ин ции определенным соотношением. Из рисунка 3.4 мокко

Из формулы (7.4) вытекает, что сумма осевых мом тов инреции фигуры относительно двух взаимно перпенд кулярных осей равно полярному моменту инерции этой гуры относительно точки пересечения указанных осей.

§ 4.4. Зависимость между осевыми моментами инерции относительно параллельных осей

Представим, что дана плоская фигура и пусть из тен ее момент инерцииJ относительно старой оси £ (рио.4^4)

Рис.4.4

117

но: F,UifCL • Пользуясь формулой (4.4) для нашего случая напишем следующим образом:

Если отарая ось 2 будет проходить через центр тяжести фигуры, то $ 2 = 0 (так как статический момент относительно оси, проходящей через цен-:р тяжести, равен нулю) и поэтому наше выражение примет следующий вид:

Из этой формулы вытекает, что осевой момент ине ц/ч относительно новой оси В1 равен осевому моменту инерции относительно собственной оси фигуры, проходящей через центр тяжести плюс площадь, умноженная на квад расстояния между параллельными осями. Анализ формулы (8.4) показывает, что момент инерции относительно прои вольной оси, не проходящей через центр тяжести, будет больше момента инерции относительно оси, проходящей че рез центр тяжести на величину второго члена уравнен

J ^ ^ o S ^ e F

§ 5.4. Зависимость между центробежными моментами инерции относительно параллельных осей

Допустим, что для сечения произвольной формы (рис 5.4) известен центробежный момент инерции относительно

старых осей

2

Если старые оси ~& и проходят через центр тя-

119

жести, то и будут равны нулю (рис.6.4), то наша формула примет следующий вид:

(ЮЛ)

§ 6.4. Моменты инерции простейших фигур

Как уже отмечалось ранее, при определении момент инерции сложных фигур необходимо ее расчленить на ря простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг). В связи с атим, в наотоящем параграфе дается методика деления моментов инерции простейших фигур относительно осей, проходящих через основания и центры тяжести ук ных фигур.

120

а) Прямоугольник.

Пусть задан прямоугольник высотойI) и шириной € (рис.7*^4).

Пользуясь формулой (4.4) для определения осевого момента инерции, можно записать

Затем определим момент инерции прямоугольника отно­ сительно оси, проходящей через его центр тяжести. Поль­

зуясь формулой перехода осевых моментов инерции относи

Z

тельно параллельных осей (8.4) имеем: ^UzJ F<Z

111