Файл: Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие.pdf

где:В-ширина, ролейgbymabpa. 3 -ширина, стен­ ки этого про<риля

Рис.18.7,б

Величина касательных напряжений для круглого сечения с максимальный значением на нейтральной оси будет вычисляться по следующей формуле:

LMCIX 3 F

Для кольцевого сечения эта формула будет иметь

вид:

Рассмотрим примеры, в которых вычислим касатель­ ные напряжения для круглого и таврового сечений бал

Пример 6.7

Определить касательное напряжение на уровне ней­ тральной оси для круглого поперечного сечения вала.

261

,Решение

Для расчетной схемы вала протирочной машины (рис 19.7,а) строим эпюру поперечных сил, изображенную на рис.19.7,б.

Р2*20*Г

сечение балш

№ 7оо

б) 3Q

Щ2чг

тт+-

20d" 28f8ar

Рис.19.7

Для определения касательных напряжений на уровне нейтральной оси для круглого поперечного сечения исьользуем формулу (14.7), т.е.:

tvt<xjt " 3 F

где F - площадь сечения вала, которая будет равна

Из эпюры видно, что "б? = 71,2 кГ. Подстав­ ляем полученные значения в нашу формулу, получим:

L»*uc J ? 3'*,об5 - 7 4 ^ /см*-

262

Зная закон распределения касательных напряжений

по сечению круглой балки, а также максимальную велич

н а

ну 2^ уровне нейтральной оси, можно построить эпюру касательных напряжений для указанного сечения, которая изображена на рис.20.7.

Рис.20.7

Пример 7,7

Вычислить касательное напряжение в сечении I - I для таврового сечения станины электродвигателя.

Решение

На рис.21.7,а изображена расчетная схема станины электродвигателя центрифуги для осветления вина, для которой строим эпюру поперечных сил, показанную на рис.21.7,б.

Для определения касательных напряжений в задан­

ном сечении таврового сечения балки применяем теорем Журавского (12.7), т.е.: s- Q'Sti)

263

Но прежде чем пользоваться этой формулой, установим, что касательные напряжения будут в стенке таврового сечения большими, чем в верхней полке.

Правильность этого суждения подтверждается при определении касательных напряжений в стенке и в верх­ ней полке двутаврового сечения, так как ширина полки превышает толщину стенки. В связи с этим, рассмотрим часть этого сечения, расположенную ниже нейтральной ос (заштрихованную на рис.21.7,в).

Рис.21.7, а, б, в

Вычислим статический момент отсеченной части от­ носительно нейтральной оси ? , который будет равен:

264

Теперь остается вычислить статический момент верхней полки таврового сечения, который будет равен

Если известен закон распределения касательных напряжений (по закону параболы) и определены значения касательных напряжений в характерных точках сечения, то представляется возможным построить эпюру касатель­ ных напряжений, изображенную на рис.21.7,в.

г;ЭХ

^jof*

Рис.21.7,г

§ 4.7. Потенциальная энергия при изгибе

Чтобы определить потенциальную энергию при изги­ бе рассмотрим деформацию балки, ; о концам которой п ложены внешние изгибающие моменты, т.е. балка будет ходиться в условиях чистого изгиба (см.рио. 2.7 ) этом случае работа внешнего момента выразится следу щим соотношением:

( i )

265

Из указанного рисунка нетрудно заметить, что

Или это равенство можно записать так:

jo~ £7

Приняв во внимание равенство (а), можно написать следующим выражением:

лучим:

dД.- iM-gfC/X

Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до £ получим полную работу внешнего момента для балки дли ной £_ , т.е.:

о

Работа внутренних изгибающих моментов будет чиоленно равна работе внешних моментов, имеющей энак минус.

Потенциальная энергия будет равна работе внутрен­ них сил (взятой с обратным знаком) и вычисляется по

266

формуле:

Контрольные вопросы 1. Что называется нейтральной линией?

2.Какие принимаются допущения при чистом из­

гибе?

3.Как доказывается, что нейтральная линия про­ ходит через центр тяжести сечения?

4.Как определяется нормальное напряжение в лю­ бой точке поперечного сечения балки? В какой точке перечного сечения балки нормальное напряжение дости­ гает наибольшего значения?

5.Что называется моментом сопротивления при из­

гибе?

6.Как записывается расчетное уравнение на проч­ ность при изгибе?

7.Как можно вычислить моменты сопротивления по­ перечных сечений прямоугольника, Knvra и кольца?

8.Как записывается формула Журавского для опре­ деления касательных напряжений при изгибе?

9.По какому закону строятся эпюры касательных напряжений для балок прямоугольного поперечного сече­ ния и двутаврового профиля?

10.Как записывается формула потенциальной энергии при изгибе?

267

ГЛАВА УШ

Перемещения при иягибе

§ 1.8. Виды перемещений

При изгибе балки происходит перемещение попе­ речных сечений балки. Эти перемещения будут линей­

и

цом, а на свободном конце ее приложим силу Р . Под действием этой силы (располокенной в одной из главных плоскостей инерции балки) ось ее искривля­ ется в той же плоскости, вследствие чего точки о перемещаются (рис.1.8).

недеформиробаншя7 ось

X Уmax =J

РИС.I.8

268

Как видно из этого рисунка 00^=^- - про­ гиб балки; <?та.х ~ £ ~ наибольший прогиб балки, называемый стрелой прогиба и обозначается буквой j£ ;

- угол позорота сечения балки. Изогнутая ось балк называется упругой линией.

Перемещение точки оси балки (например, точки 0) п нормали к ее недоформироваь.иой оси называется прогибом балки (или прогибом оси балки, ЕЛИ прогибом сечения балки). Прогибы балки обозначают буквой 4£ . известно, что искривления оси балка будут вызывать не только гибы, но и смещения точек оси по горизонтали. Однако величины этих смещений будут незначительными и поэтому при соответствующих расчетах их ко учитывают.

При деформации балки поперечное сече.ае, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему первона­ чальному положению на какой то угол, который называет углом поворота сечения и обозначается буквой jP .

Так как повернувшееся сечение перпендикулярно изогнутой оси балки, то можно вычислять вместо угла поворота с чения равный ему угол, образованный касательной к рас­

получения уравнений упругой линии выбираем прямоугольную систему координат ЗС^ с началом в точке 0 на левом це оси балки (рис.1.8). Условимся ось ЭС. направлять оси балки вправо, а ось J £ - вертикально вверх. Счита ют прогибы балки положительными, когда точки оои балк при деформации перемещаются вверх, а углы поворота У - положительны тогда, когда поперечное сечение при де­ формации поворачивается против чаоовой стрелки.

269